Matriz ortogonal: propriedades, prova, exemplos - Ciência - 2023

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Tem um matriz ortogonal quando a referida matriz multiplicada por sua transposição resulta na matriz identidade. Se o inverso de uma matriz é igual à transposta, então a matriz original é ortogonal.

Matrizes ortogonais possuem a característica de que o número de linhas é igual ao número de colunas. Além disso, os vetores de linha são vetores ortogonais unitários e os vetores de linha de transposição também são.

Quando uma matriz ortogonal é multiplicada pelos vetores de um espaço vetorial, ela produz um transformação isométrica, ou seja, uma transformação que não altera as distâncias e preserva os ângulos.

Um representante típico de matrizes ortogonais são os matrizes de rotação. As transformações das matrizes ortogonais em um espaço vetorial são chamadas transformações ortogonais.

As transformações geométricas de rotação e reflexão de pontos representados por seus vetores cartesianos são realizadas aplicando matrizes ortogonais sobre os vetores originais para obter as coordenadas dos vetores transformados. É por esta razão que as matrizes ortogonais são amplamente utilizadas no processamento gráfico de computador.

Propriedades

Uma matriz M é ortogonal se multiplicado por sua transposta M^T retorna a matriz de identidade Eu. Da mesma forma, o produto da transposição de uma matriz ortogonal pela matriz original resulta na matriz identidade:

MILÍMETROS^T = M^T M = I

Como consequência da afirmação anterior, temos que a transposta de uma matriz ortogonal é igual à sua matriz inversa:

M^T = M^-1.

O conjunto de matrizes ortogonais de dimensão n x n formar o grupo ortogonal Em). E o subconjunto de Em) de matrizes ortogonais com determinante +1 formam o Grupo de Matrizes Especiais Unitárias SU (n). As matrizes do grupo Sol) são matrizes que produzem transformações lineares de rotação, também conhecidas como grupo de rotações.

Demonstração

Queremos mostrar que uma matriz é ortogonal se, e somente se, os vetores linha (ou vetores coluna) são ortogonais entre si e da norma 1.

Suponha que as linhas de uma matriz ortogonal n x n sejam n vetores ortonormais de dimensão n. Se denotado por v1, v2,…., Vn os n vetores são satisfeitos:

Onde é evidente que de fato o conjunto de vetores linha é um conjunto de vetores ortogonais com norma um.

Exemplos

Exemplo 1

Mostre que a matriz 2 x 2 que em sua primeira linha tem o vetor v1= (-1 0) e em sua segunda linha o vetor v2= (0 1) é uma matriz ortogonal.

Solução: A matriz é construída M e sua transposição é calculada M^T:

Neste exemplo, a matriz M é autotransposto, ou seja, a matriz e sua transposta são idênticas. Multiplica M por sua transposição M^T:

É verificado que MM^T é igual à matriz de identidade:

Quando a matriz M multiplicado pelas coordenadas de um vetor ou ponto, são obtidas novas coordenadas que correspondem à transformação que a matriz faz no vetor ou ponto.

A Figura 1 mostra como M vetor de transformação ou no ou'e também como M transforme o polígono azul no polígono vermelho. Como M é ortogonal, então é uma transformação ortogonal, que preserva as distâncias e os ângulos.

Exemplo 2

Suponha que você tenha uma matriz 2 x 2 definida em reais dados pela seguinte expressão:

Encontre os valores reais de para, b, c Y d de modo que a matriz M ser uma matriz ortogonal.

Solução: Por definição, uma matriz é ortogonal se multiplicada por sua transposta, a matriz identidade é obtida. Lembrando que a matriz transposta é obtida da original, trocando linhas por colunas obtém-se a seguinte igualdade:

Realizando a multiplicação da matriz, temos:

Equacionando os elementos da matriz esquerda com os elementos da matriz identidade à direita, obtemos um sistema de quatro equações com quatro incógnitas a, b, c e d.

Propomos as seguintes expressões para a, b, c e d em termos de razões trigonométricas de seno e cosseno:

Com esta proposta e devido à identidade trigonométrica fundamental, a primeira e a terceira equações são satisfeitas automaticamente na igualdade dos elementos da matriz. A terceira e a quarta equações são iguais e em igualdade de matriz, após a substituição dos valores propostos, fica assim:

o que leva à seguinte solução:

Finalmente, as seguintes soluções são obtidas para a matriz ortogonal M:

Observe que a primeira das soluções possui determinante +1, portanto, pertence ao grupo SU (2), enquanto a segunda solução possui determinante -1 e, portanto, não pertence a este grupo.

Exemplo 3

Dada a matriz a seguir, encontre os valores de aeb para que tenhamos uma matriz ortogonal.

Solução: Para que uma dada matriz seja ortogonal, o produto com sua transposta deve ser a matriz identidade. Em seguida, o produto da matriz da matriz dada com sua matriz transposta é realizado dando o seguinte resultado:

Em seguida, o resultado é igualado à matriz de identidade 3 x 3:

Na segunda linha, terceira coluna, temos (a b = 0), mas para não pode ser zero, porque se assim fosse, a igualdade dos elementos da segunda linha e da segunda coluna não seria cumprida. Então necessariamente b = 0. Substituindo b para o valor 0 temos:

Então a equação é resolvida: 2a ^ 2 = 1, cujas soluções são: + ½√2 e -½√2.

Tomando a solução positiva para para A seguinte matriz ortogonal é obtida:

O leitor pode verificar facilmente que os vetores linha (e também os vetores coluna) são ortogonais e unitários, ou seja, ortonormais.

Exemplo 4

Prove que a matriz PARA cujos vetores de linha são v1 = (0, -1 0), v2 = (1, 0, 0) Y v3 = (0 0 -1) é uma matriz ortogonal. Além disso, descubra como os vetores da base canônica são transformados I J K para vetores u1, u2 Y u3.

Solução: Deve-se lembrar que o elemento (i, j) de uma matriz, multiplicado por sua transposta, é o produto escalar do vetor da linha (i) pelo da coluna (j) da transposta. Além disso, este produto é igual ao delta de Kronecker no caso de a matriz ser ortogonal:

No nosso caso, é assim:

v1 • v1 = 0x0 + (-1) x (-1) + 0x0 = 1

v2 • v2 = 1 × 1 + 0x0 + 0x0 = 1

v3 • v3 = 0x0 + 0x0 + (-1) x (-1) = 1

v1 • v2 = 0x1 + (-1) x0 + 0x0 = 0

v2 • v1 = 1 × 0 + 0x (-1) + 0x0 = 0

v2 • v3 = 1 × 0 + 0x (0) + 0x (-1) = 0

v3 • v2 = 0x1 + 0x (0) + (-1) x0 = 0

v1 • v3 = 0x0 + (-1) x (0) + 0x (-1) = 0

v3 • v1 = 0x0 + 0x (-1) + (-1) x0 = 0

Com o qual se mostra que é uma matriz ortogonal.

Mais longe u1 = A i = (0, 1, 0); u2 = A j = (-1, 0, 0) e finalmente u3 = A k = (0, 0, -1)

Referências

Anthony Nicolaides (1994) Determinants & Matrices. Publicação de aprovação.
Birkhoff e MacLane. (1980). Modern Algebra, ed. Vicens-Vives, Madrid.
Casteleiro Villalba M. (2004) Introdução à álgebra linear. Editorial da ESIC.
Dave Kirkby (2004) Maths Connect. Heinemann.
Jenny Olive (1998) Maths: A Student’s Survival Guide. Cambridge University Press.
Richard J. Brown (2012) Matemática de 30 segundos: As 50 teorias que mais expandem a mente na matemática. Ivy Press Limited.
Wikipedia. Matriz ortogonal. Recuperado de: es.wikipedia.com
Wikipedia. Matriz ortogonal. Recuperado de: en.wikipedia.com