Notação fatorial: conceito, exemplos e exercícios - Ciência - 2023

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Notação fatorial: conceito, exemplos e exercícios - Ciência
Notação fatorial: conceito, exemplos e exercícios - Ciência

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o notação fatorial é usado para calcular o produto do primeiro n Números naturais, ou seja, os inteiros positivos, a partir de 1 até o valor de n. É denotado por um ponto de exclamação e é chamado n fatorial:

n! = 1⋅2⋅3…. (n-1) ⋅n

O cálculo do fatorial de um número é simples, por exemplo, o produto dos seis primeiros números naturais é expresso por:

6! = 1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅6 = 720

Os fatoriais aparecem em tópicos como a teoria binomial e combinatória de Newton, que é frequentemente usada no cálculo de probabilidades. O assim chamado números combinatórios que podem ser expressos como fatoriais.

A notação n! É a ideia do médico e matemático francês Christian Kramp (1760-1826), cujo trabalho em matemática se concentrou na área da função fatorial generalizada. De forma independente, os fatoriais também foram descobertos por outro matemático francês: Louis Arbogast (1759-1803), um contemporâneo de Kramp.


Tal como acontece com as somas, existe uma maneira de expressar o produto dos primeiros n números naturais de uma forma resumida:

Propriedades da notação fatorial

Sejam m e n dois inteiros positivos, é verdade que:

  1. Por conveniência, foi acordado definir 0! igual a 1, isto é: 0! = 1.
  2. O valor de 1! = 1
  3. Sim, um! = b!, significa que a = b, desde que a⋅b ≠ 0. A exceção são os valores 0 e 1, já que 1! = 1 = 0!, Como acabamos de afirmar, mas é claro que 1 ≠ 0.
  4. Se m <n, então m! < n! E por tanto m! está contido em n!:
    n! = 1⋅2⋅ 3⋅ 4… (m -1) ⋅m… n
  5. Para n maior ou igual a 2, temos:
    n! = n⋅ (n-1)!
    Visto que de acordo com a definição:
    n! = [1⋅2⋅3⋅ 4⋅5…. (n-1)] ⋅n
    A expressão contida entre colchetes é precisamente (n-1)!
  6. n⋅n! = (n + 1)! - n!
    Com efeito, propondo as operações do lado direito da igualdade:
    (n + 1)! - n! = [1 ⋅ 2⋅ 3⋅ 4⋅ 5… n ⋅ (n + 1)] - [1 ⋅2⋅ 3⋅ 4 ⋅ 5…. n] =
    = [1⋅2⋅3⋅ 4 ⋅ 5…. n] ⋅ [(n + 1) - 1] = [1 ⋅2⋅3⋅ 4 ⋅5…. n] ⋅ n = n! ⋅ n

Co-fatoriais, semifatoriais ou quase-fatoriais de um número

O semifatorial de um número natural depende se ele é ímpar ou par. A notação usa o ponto de exclamação duplo ou fatorial duplo e é definida pela seguinte regra:


–Se n for par:

n !! = 2⋅4⋅6⋅8 ... n

–Se n for ímpar:

n !! = 1⋅3⋅5⋅7… n

Fórmulas para semifatoriais

As fórmulas a seguir ajudam a calcular semifatoriais mais facilmente, especialmente quando se trata de números grandes.


O seguinte é observado para o caso em que n é par:

n !! = (2⋅1) ⋅ (2⋅2) ⋅ (2⋅3) ⋅ (2⋅4)… 2⋅ (n / 2) = (2⋅ 2⋅2⋅2.…) ⋅ [1⋅2⋅ 3⋅4… (n / 2)] =

= 2(n / 2) . (n / 2)!

E se n for ímpar, então:

n !! = 1⋅3⋅5⋅7… n

Multiplicando e dividindo ao mesmo tempo por [2. Quatro. 6 ... (n - 1)], a expressão permanece:

n !! = {[1⋅3⋅5⋅7… n] ⋅ [2⋅4⋅6… (n -1)]} ÷ [2⋅4⋅6… (n - 1)]

Mas o valor entre colchetes é:

1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅6⋅7…. (n -1) ⋅n

E este é n!, Como visto acima, então substituindo:

n !! = n! ÷ [2 ⋅ 4 ⋅ 6 ... (n -1)]

O que está entre colchetes é reescrito assim:

[2 ⋅ 4 ⋅ 6 ... (n -1)] = 2[(n-1) / 2] ⋅ [(n-1) / 2)]!


Portanto:

n !! = n! ÷ [2 ⋅ 4 ⋅ 6… (n -1)] = n! ÷ {2[(n-1) / 2] ⋅ [(n-1) / 2)]!}

Exemplos

As propriedades acima são aplicadas para simplificar expressões que contêm fatoriais, levando em consideração que, em geral, as seguintes expressões não são equivalentes:


  1. (m ± n)! ≠ m! ± n!
  2. (m x n)! ≠ m! x n!
  3. (m ÷ n)! ≠ m! ÷ n!
  4. (mn)! ≠ (m!)n
  5. (m!)! ≠ m !!

Exemplo 1

Calculando diretamente esses fatoriais:


a 5!

b) 8!

c) 4 !!

d) 11 !!

e) 14 !!

f) (2n + 1) !!

Os valores são obtidos:

para 5! = 5. 4. 3. 2. 1 = 120

b) 8! = 8. 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1 = 40320

c) 4 !! = 2⋅4 = 8

d) 11 !! = 11⋅ 9 ⋅7⋅5⋅ 3⋅1 = 10395

e) 14 !! = 14⋅12⋅10⋅8⋅6⋅4⋅2 = 645120

f) (2n + 1) !! = 1⋅3⋅5⋅7. .. (2n - 3) ⋅ (2n - 1) ⋅ (2n + 1)

Os resultados de a) a e) também podem ser verificados com uma calculadora. As calculadoras científicas têm a função de calcular diretamente o valor de x!

Como você pode ver, os resultados dos fatoriais, exceto com números pequenos, são valores que crescem muito rapidamente.

Exemplo 2

As seguintes expressões fracionárias podem ser simplificadas usando as propriedades:



Exercícios resolvidos

Exercício 1 resolvido

Verifique, através da fórmula co-fatorial, os resultados obtidos anteriormente:

a) 11 !! = 10395

b) 14 !! = 645120

Solução para

Como 11 é ímpar, os valores são cuidadosamente substituídos na fórmula apropriada:


n !! = n! ÷ {2[(n-1) / 2] . [(n-1) / 2)]!}

E então o resultado é simplificado por meio das propriedades dos fatoriais:

11!! = 11! ÷ {2[(11-1)/2] . [(11-1)/2)]!} = 11! ÷ {2[(10)/2] . [(10)/2)]!} = 11! ÷ {25 . 5!} =  (11 . 10. 9. 8. 7. 6. 5!) ÷ [(32). 5!] = (11⋅10⋅9 ⋅ 8⋅7⋅6) ÷ 32 = 10395

Como esperado, obteve-se o mesmo resultado do cálculo de 11 !! Diretamente, entretanto, o uso da fórmula é vantajoso para um grande valor de n, uma vez que nos permite expressar o duplo fatorial como um produto de dois fatores.

Solução b

Aplicando a fórmula semifatorial para n pares e substituindo os valores, obtém-se o seguinte:

14!!=  2(14/2) ⋅ (14/2)! =  27 ⋅ 7! = 128 × 5040 = 645120

Exercício resolvido 2

Escreva as seguintes operações como quocientes de fatoriais:

a) 7⋅6⋅5⋅4⋅3

b) n⋅ (n-1) ⋅ (n-2) ⋅ (n-3)

c) (n-1) ⋅ (n-2) .... (n-9)

Solução para

7⋅6⋅5⋅4⋅3 = 7! / 2!

Solução b

n⋅ (n-1) ⋅ (n-2) ⋅ (n-3) = n! / (n - 4)!

Solução c

(n-1) ⋅ (n-2) ... (n-9) = (n-1)! / (n-10)!

Exercício resolvido 3

Você tem 4 quadrados coloridos: azul, laranja, roxo e verde, e você deseja colocá-los alinhados um após o outro em uma mesa. De quantas maneiras os quadrados podem ser organizados?

Solução

Existem várias maneiras de organizar os quadrados, por exemplo, definindo a cor azul primeiro. Aqui estão algumas opções:

-Azul, laranja, roxo e verde

-Azul, verde, laranja e roxo

-Azul, roxo, verde e laranja

E assim por diante. O leitor pode ver que existem 6 combinações de quadrados que começam com azul.


Observe que definindo uma cor como a primeira opção, as outras 3 cores podem ser corrigidas. Assim que a segunda for definida, restam 2 para escolher e, uma vez que esta cor seja selecionada, apenas 1 cor permanece.

Isso pode ser expresso pelo produto: 4⋅3⋅2⋅1, que é o fatorial de 4!:

4! = 4⋅3⋅2⋅1 = 24

Conclui-se que, ao todo, são 24 combinações possíveis.

Esta forma de organização é chamada permutação, em que a ordem em que os elementos são colocados importa.

Exercício resolvido 4

Resolva as seguintes equações:

a) (x2 + x)! = 720

Solução para

No início viu-se que 6! = 720, portanto:

(x2 + x)! = 6!

Então, o valor entre parênteses deve ser 6:


x2 + x = 6

Esta é uma equação de segundo grau em x:

x2 + x - 6 = 0

Esta equação pode ser resolvida usando a fórmula geral ou fatorando o trinômio.

Usando o último método, o trinômio é fatorado assim:

x2 + x - 6 = (x + 3) ⋅ (x-2) = 0

As soluções da equação são x1 = -3 e x2 = 2

Solução b

Tanto o numerador quanto o denominador são fatorados, com o objetivo de simplificar ao máximo a expressão. Para começar, o denominador pode ser fatorado (x + 7)!


Curtir (x + 9)! = (x + 9) ⋅ (x + 8)! o denominador pode ser cancelado e permanece:

(x + 8)! = 14!

Usando a propriedade 3, uma equação simples resulta:

x + 8 = 14

x = 6

Referências

  1. Hoffman, J.G. Seleção de Tópicos de Matemática. Ed. Sphinx.
  2. Lipschutz, S. 2007. Discrete Mathematics. Schaum series. 3º Edição. McGraw Hill.
  3. Matemática é Fun. Função fatorial. Recuperado de: mathisfun.com.
  4. Smartick. Fatoriais Para que os usamos? Recuperado de: smartick.es.
  5. Stewart, J. 2006. Precalculus: Mathematics for Calculus. 5 ª. Edição. Cengage Learning.