Congruência: figuras congruentes, critérios, exemplos, exercícios - Ciência - 2023

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o congruência, em geometria, indica que se duas figuras planas têm a mesma forma e dimensões, elas são congruentes. Por exemplo, dois segmentos são congruentes quando seus comprimentos são iguais. Da mesma forma, ângulos congruentes têm a mesma medida, embora não sejam orientados da mesma maneira no plano.

O termo "congruência" vem do latim congruente, cujo significado é correspondência. Assim, duas figuras congruentes correspondem exatamente uma à outra.

Por exemplo, se sobrepormos os dois quadriláteros na imagem, descobriremos que são congruentes, uma vez que a disposição de seus lados é idêntica e medem a mesma.

Colocando os quadriláteros ABCD e A'B'C'D 'um sobre o outro, os números corresponderão exatamente. Os lados correspondentes são chamados lados homólogos ou correspondente e para expressar congruência o símbolo ≡ é usado. Então podemos afirmar que ABCD ≡ A’B’C’D ’.

Critérios de congruência

As seguintes características são comuns a polígonos congruentes:

-A mesma forma e tamanho.

-Medições idênticas de seus ângulos.

-A mesma medida em cada um de seus lados.

No caso de dois polígonos em questão serem regulares, ou seja, todos os lados e ângulos internos medem o mesmo, a congruência é garantida quando qualquer das seguintes condições:

-Os lados são congruentes

-As apotemas eles têm a mesma medida

-O rádio de cada polígono mede igual

O apótema de um polígono regular é a distância entre o centro e um dos lados, enquanto o raio corresponde à distância entre o centro e um vértice ou vértice da figura.

Os critérios de consistência são freqüentemente usados porque muitas partes e peças de todos os tipos são produzidas em massa e devem ter a mesma forma e medidas. Desta forma, eles podem ser facilmente substituídos quando necessário, por exemplo, porcas, parafusos, chapas ou pedras de pavimentação no chão da rua.

Congruência, identidade e semelhança

Existem conceitos geométricos relacionados à congruência, por exemplo figuras idênticas e as figuras semelhantes, o que não significa necessariamente que os números sejam congruentes.

Observe que as figuras congruentes são idênticas, porém os quadriláteros na Figura 1 podem ser orientados de maneiras diferentes no plano e ainda assim permanecer congruentes, uma vez que a orientação diferente não altera o tamanho de seus lados ou seus ângulos. Nesse caso, eles não seriam mais idênticos.

O outro conceito é o da semelhança de figuras: duas figuras planas são semelhantes se têm a mesma forma e seus ângulos internos medem o mesmo, embora o tamanho das figuras possa ser diferente. Se for esse o caso, os números não são congruentes.

Exemplos de congruência

- Congruência de ângulos

Como indicamos no início, ângulos congruentes têm a mesma medida. Existem várias maneiras de obter ângulos congruentes:

Exemplo 1

Duas linhas com um ponto em comum definem dois ângulos, chamados Ângulos opostos pelo vértice. Esses ângulos têm a mesma medida, portanto são congruentes.

Exemplo 2

Existem duas linhas paralelas mais uma linha t que cruza os dois. Como no exemplo anterior, quando esta linha cruza os paralelos, ela gera ângulos congruentes, um em cada linha do lado direito e outros dois do lado esquerdo. A figura mostra α e α₁, à direita da linha t, que são congruentes.

Exemplo 3

Em um paralelogramo, existem quatro ângulos internos, que são congruentes de dois para dois. São aqueles entre vértices opostos, como mostra a figura a seguir, em que os dois ângulos em verde são congruentes, assim como os dois ângulos em vermelho.

- Congruência de triângulos

Dois triângulos da mesma forma e tamanho são congruentes. Para verificar isso, existem três critérios que podem ser examinados em busca de congruência:

–Critério LLL: os três lados dos triângulos têm as mesmas medidas, portanto L₁ = L ’₁; eu₂ = L ’₂ e eu₃ = L ’_3.

–Critérios ALA e AAL: Os triângulos têm dois ângulos internos iguais e o lado entre esses ângulos tem a mesma medida.

–Critério LAL: dois dos lados são idênticos (correspondentes) e entre eles existe o mesmo ângulo.

Exercícios resolvidos

- Exercício 1

Dois triângulos são mostrados na figura a seguir: ΔABC e ΔECF. Sabe-se que AC = EF, que AB = 6 e CF = 10. Além disso, os ângulos ∡BAC e ∡FEC são congruentes e os ângulos ∡ACB e ∡FCB também são congruentes.

Então, o comprimento do segmento BE é igual a:

(i) 5

(ii) 3

(iii) 4

(iv) 2

(v) 6

Solução

Como os dois triângulos têm um lado de comprimento igual AC = EF entre os ângulos iguais ∡BAC = ∡CEF e ∡BCA = = CFE, pode-se dizer que os dois triângulos são congruentes pelo critério ALA.

Ou seja, ΔBAC ≡ ΔCEF, então temos que:

BA = CE = AB = 6

BC = CF = 10

AC = EF

Mas o segmento a ser calculado é BE = BC - EC = 10 - 6 = 4.

Portanto, a resposta correta é (iii).

- Exercício 2

Três triângulos são mostrados na figura abaixo. Sabe-se também que os dois ângulos indicados medem 80º cada e que os segmentos AB = PD e AP = CD. Encontre o valor do ângulo X indicado na figura.

Solução

Você deve aplicar as propriedades dos triângulos, que são detalhadas passo a passo.

Passo 1

Começando com o critério de congruência do triângulo LAL, pode-se afirmar que os triângulos BAP e PDC são congruentes:

ΔBAP ≡ ΔPDC

Passo 2

O exposto acima leva a afirmar que BP = PC, portanto o triângulo ΔBPC é isósceles e ∡PCB = ∡PBC = X.

etapa 3

Se chamarmos o ângulo BPC de γ, segue-se que:

2x + γ = 180º

Passo 4

E se chamarmos os ângulos APB e DCP de β e α os ângulos ABP e DPC temos:

α + β + γ = 180º (visto que APB é um ângulo plano).

Etapa 5

Além disso, α + β + 80º = 180º pela soma dos ângulos internos do triângulo APB.

Etapa 6

Combinando todas essas expressões, temos:

α + β = 100º

Etapa 7

E, por conseguinte:

γ = 80º.

Etapa 8

Finalmente, segue-se que:

2X + 80º = 180º

Com X = 50º.

Referências

Baldor, A. 1973. Plane and Space Geometry. Cultural da América Central.
Fundação CK-12. Polígonos congruentes. Recuperado de: ck 12.org.
Aprecie a matemática. Definições: Raio (polígono). Recuperado de: enjoylasmatematicas.com.
Referência de matemática aberta. Testando polígonos para congruência. Recuperado de: mathopenref.com.
Wikipedia. Congruência (geometria). Recuperado de: es.wikipedia.org.
Zapata, F. Triângulos, história, elementos, classificação, propriedades.Recuperado de: lifeder.com.