Função decrescente: como identificá-la, exemplos, exercícios - Ciência - 2023

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UMA função decrescente f é aquele cujo valor diminui à medida que o valor de x aumenta. Isso significa que em um determinado intervalo, considerando dois valores x₁ e x₂ tal que x₁ <x₂, então f (x₁)> f (x₂).

Um exemplo de função que está sempre diminuindo é f (x) = -x³, cujo gráfico é mostrado na figura a seguir:

Embora algumas funções como esta se caracterizem por serem decrescentes ao longo de seu domínio, nem todas se comportam assim, existem aquelas que estão aumentando e também aquelas que aumentam e diminuem em determinados intervalos do domínio. O estudo dos intervalos de crescimento e diminuição é chamado monotonia da função.

Da mesma forma, pode-se considerar o crescimento ou diminuição da função em um determinado ponto do domínio. Mas toda função que está diminuindo em um determinado intervalo também está diminuindo em todos os pontos que pertencem a ela.

Como identificar uma função decrescente?

O gráfico da função indica visualmente se está diminuindo ou não. Se ao mover no sentido crescente de x, a função "desce", significa que está diminuindo.

E se tem intervalos em que diminui e cresce alternadamente, o que é o mais usual, pois estes são claramente demonstrados pela observação do comportamento da função ao longo do seu domínio, pois haverá intervalos em que a função "sobe" outros em que "desce".

Alternativamente, se o gráfico da função não estiver disponível, analiticamente é possível determinar se ele está diminuindo em um ponto ou em um intervalo, através da primeira derivada.

Critério da primeira derivada

Observe o comportamento da função decrescente mostrada na figura 2. Os segmentos de reta em rosa são tangentes aos pontos cujas coordenadas são [a, f (a)] Y [a + h, f (a + h)] e têm uma inclinação negativa.

O seguinte é verdadeiro para esta função:

f (a + h) - f (a) <0 ⇒ f (a + h) <f (a)

Portanto, pode-se pensar que a função está diminuindo em x = a.

Agora, a primeira derivada da função f (x), avaliada em x = a, que por definição é a inclinação da reta tangente à curva em x = a, é dada por:

O limite indica que o valor de h pode ser tão pequeno quanto desejado e sugere que o sinal de fa), pode ser usado para saber se a função está ou não diminuindo em um determinado ponto, desde que a derivada exista nesse ponto.

Então sim f´ (a) <0, pode-se afirmar que a função está diminuindo, e pelo contrário, se f´ (a)> 0, então, a função está aumentando nesse ponto.

Teorema para diminuir e aumentar funções

Referência anterior foi feita ao comportamento da função em um ponto. Agora, o seguinte teorema nos permite saber os intervalos em que uma função é decrescente, crescente ou constante:

Seja f uma função diferenciável no intervalo (a, b). É verdade que:

-Se f´ (x) <0 para todo x pertencente a (a, b), então f (x) está diminuindo em (a, b).

-Se pelo contrário f´ (x)> 0 para todo x pertencente a (a, b), diz-se que a função f (x) está aumentando em (a, b).

-Finalmente, se f´ (x) = 0 para todo x que pertence ao intervalo (a, b), f (x) é constante nesse intervalo.

Demonstração

Suponha que f´ (x) <0 para qualquer valor de x no intervalo (a, b), também temos x₁ e x₂ pertencente ao referido intervalo e a condição de que x₁<x₂.

O teorema do valor médio afirma que existe um número real c, compreendido entre x₁ e x₂, tal que:

Como está estabelecido desde x₁<x₂, Δx é positivo. Então, como f´ (c) é negativo, então Δy também é negativo. Portanto f (x₁) é maior que f (x₂) e a função realmente diminui em cada ponto do intervalo (a, b).

Passos para saber se uma função está diminuindo

Para encontrar os intervalos de diminuição e crescimento de uma função aplicando o teorema anterior, siga estas etapas:

-Encontre a primeira derivada da função e defina-a igual a zero, resolvendo a equação resultante. Também determine os pontos onde a derivada não existe.

Todos esses pontos são chamados Pontos críticos e é preciso encontrá-los, pois neles a derivada tem a oportunidade de mudar de sinal, indicando que a função vai de crescente para decrescente ou vice-versa.

-O domínio da função é dividido em intervalos determinados pelos pontos em que a primeira derivada desaparece ou não existe.

-Finalmente, o sinal da derivada é estudado em um ponto arbitrário que pertence a cada um dos intervalos obtidos no passo anterior.

Exemplos de funções decrescentes

As funções não diminuem na mesma taxa, algumas fazem isso mais rápido do que outras. As seguintes funções, que aparecem com frequência na prática, estão diminuindo:

A função exponencial

Uma função da forma f (x) = a^x, com a entre 0 e 1, sem incluí-los, diminui rapidamente em todo o seu domínio.

A função 1 / x

Usando um programa de representação gráfica online como o Geogebra, o gráfico da função f (x) = 1 / x é construído, verificando se está diminuindo em todo o seu domínio.

A função afim

Funções da forma y = mx + b com m <0 têm gráficos que são retas de inclinação negativa e, portanto, são funções decrescentes.

Exercício resolvido

Encontre, se houver, os intervalos de diminuição da função:

f (x) = x⁴ - 6x² – 4

Solução

O primeiro passo é encontrar f´ (x):

f´ (x) = 4x³ - 12x

A primeira derivada de f (x) é uma função contínua, ou seja, não possui pontos de descontinuidade, mas desaparece em:

4x³ - 12x = 0 = 4x (x²-3) = 0

As soluções desta equação são: x₁ = 0, x₂ = - √3 e x₃ = √3. Estes são os pontos críticos, que dividem o domínio de f (x) em intervalos: (-∞, - √3); (- √3,0); (0, √3); (√3, ∞ +).

A primeira derivada é então avaliada com um valor arbitrário de x, pertencente a cada intervalo. Esses valores foram escolhidos:

Para (-∞, - √3)

f´ (-2) = 4 (-2)³ - 12x (-2) = -32 + 24 = -8

Para (- √3,0)

f´ (-1) = 4 (-1)³ - 12x (-1) = -4 + 12 = 8

Para (0, √3)

f´ (1) = 4 (1)³ - 12x (1) = 4-12 = -8

Para (√3, ∞ +)

f´ (2) = 4 (2)³ - 12x (2) = 32-24 = 8

Como existem vários intervalos, é uma boa ideia fazer uma tabela para organizar os resultados. A seta para cima indica que a função aumenta e para baixo, que diminui:

Conclui-se que a função diminui nos intervalos (-∞, - √3) e (0, √3) e aumenta nos intervalos restantes. É facilmente verificado ao representar graficamente a função original no Geogebra.

Referências

Ayres, F. 2000. Calculus. 5ed. Mc Graw Hill.
Leithold, L. 1992. Calculus with Analytical Geometry. HARLA, S.A.
Purcell, E. J., Varberg, D., & Rigdon, S. E. (2007). Cálculo. México: Pearson Education.
Mathemobile. Funções, aumentando, diminuindo e constantes. Recuperado de: matemovil.com
Stewart, J. 2006. Precalculus: Mathematics for Calculus. 5 ª. Edição. Cengage Learning.