Ondas lineares: conceito, características, exemplos - Ciência - 2023

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Asondas lineares são aquelas em que se aplica o princípio da sobreposição, ou seja, aquelas em que a forma de onda e sua evolução espaço-temporal podem ser alcançadas como a soma de soluções básicas, por exemplo do tipo harmônico. Nem todas as ondas obedecem ao princípio de superposição; aquelas que não obedecem são chamadas de ondas não lineares.

O nome "linear" vem do fato de que as ondas lineares sempre satisfazem uma equação diferencial em derivadas parciais, em que todos os termos que envolvem a variável dependente ou suas derivadas são elevados à primeira potência.

Por sua vez, as ondas não lineares satisfazem as equações de onda que têm termos quadráticos ou graus mais elevados na variável dependente ou suas derivadas.

As ondas lineares às vezes são confundidas com ondas longitudinais, que são aquelas em que a vibração ocorre na mesma direção de propagação das ondas sonoras.

Mas as ondas longitudinais, assim como as ondas transversais, podem, por sua vez, ser lineares ou não lineares dependendo, entre outros fatores, da amplitude da perturbação inicial e do meio em que se propagam.

Geralmente acontece que quando a perturbação inicial é de pequena amplitude, a equação que descreve a propagação da onda é linear ou pode ser linearizada por meio de certas aproximações, embora nem sempre seja o caso.

Equação diferencial em ondas lineares

Em um meio linear, uma forma de onda limitada no espaço e no tempo pode ser representada pela soma das funções de onda do tipo seno ou cosseno de diferentes frequências e comprimentos de onda usando a série de Fourier.

Ondas lineares sempre têm associada uma equação diferencial do tipo linear, cuja solução representa a previsão de qual será a perturbação em instantes posteriores de uma perturbação inicial localizada espacialmente no instante inicial.

A equação de onda linear clássica, em uma única dimensão espacial, cujas soluções são ondas lineares é:

Na equação acima ou representa a perturbação de uma certa quantidade física na posição x e no instante t, quer dizer ou é uma função de x Y t:

u = u (x, t)

Por exemplo, se for uma onda sonora no ar,ou Pode representar a variação da pressão em relação ao seu valor sem perturbar.

No caso de uma onda eletromagnética, u representa o campo elétrico ou o campo magnético oscilando perpendicularmente à direção de propagação.

No caso de uma corda esticada,ou representa o deslocamento transversal em relação à posição de equilíbrio da corda, conforme mostrado na figura a seguir:

Soluções da equação diferencial

Se tivermos duas ou mais soluções da equação diferencial linear, então cada solução multiplicada por uma constante será uma solução e também a soma delas.

Ao contrário das equações não lineares, as equações de onda linear admitem soluções harmônicas do tipo:

ou₁= A⋅sen (k⋅x - ω⋅t) Y ou₂= A⋅sen (k⋅x + ω⋅t)

Isso pode ser verificado por simples substituição na equação de onda linear.

A primeira solução representa uma onda viajante se movendo para a direita, enquanto a segunda solução para a esquerda rapidamente c = ω / k.

Soluções harmônicas são características de equações de onda linear.

Por outro lado, a combinação linear de duas soluções harmônicas também é uma solução da equação de onda linear, por exemplo:

u = A₁ cos (k₁⋅x - ω₁⋅t) + A₂ sen (k₂⋅x - ω₂⋅t) é a solução.

A característica mais relevante das ondas lineares é que qualquer forma de onda, por mais complexa que seja, pode ser obtida por meio de uma soma de ondas harmônicas simples em seno e cosseno:

u (x, t) = A₀ + ∑_n PARA_n cos (k_n⋅x - ω_n⋅t) + ∑_m B_m sen (k_m⋅x - ω_m⋅t).

Ondas lineares dispersivas e não dispersivas

Na equação de onda linear clássica,c representa a velocidade de propagação do pulso.

Ondas não dispersivas

Em casos onde c é um valor constante, por exemplo, ondas eletromagnéticas no vácuo, então um pulso no instante inicial t = 0 Forma f (x) espalha de acordo com:

u (x, t) = f (x - c⋅t)

Sem sofrer qualquer distorção. Quando isso ocorre, o meio é considerado não dispersivo.

Ondas dispersivas

Porém, em meios dispersivos a velocidade de propagação c pode depender do comprimento de onda λ, ou seja: c = c (λ).

As ondas eletromagnéticas são dispersivas quando viajam através de um meio material. Além disso, as ondas de superfície da água viajam em velocidades diferentes de acordo com a profundidade da água.

A velocidade com que uma onda harmônica do tipo A⋅sen (k⋅x - ω⋅t) isto é ω / k = c y é chamada de velocidade de fase. Se o meio for dispersivo, então c é uma função do número da onda k: c = c (k), Onde k está relacionado ao comprimento de onda por k = 2π / λ.

Razões de dispersão

A relação entre frequência e comprimento de onda é chamada de proporção de dispersão, que expressa em termos de frequência angular ω e o número da onda k isto é: ω = c (k) ⋅k.

Algumas relações de dispersão características de ondas lineares são as seguintes:

Em ondas do mar onde o comprimento de onda (distância entre as cristas) é muito maior que a profundidade H, mas como sua amplitude é muito menor que a profundidade, a relação de dispersão é:

ω = √ (gH) ⋅k

A partir daí, conclui-se que eles se propagam em velocidade constante√ (gH) (meio não dispersivo).

Mas as ondas em águas muito profundas são dispersivas, pois sua razão de dispersão é:

ω = √ (g / k) ⋅k

Isso significa que a velocidade da fase ω / k é variável e depende do número da onda e, portanto, do comprimento de onda da onda.

Velocidade do grupo

Se duas ondas lineares harmônicas se sobrepõem, mas avançam em velocidades diferentes, a velocidade do grupo (ou seja, do pacote de ondas) não corresponde à velocidade da fase.

Velocidade do grupov_g é definido como a derivada da frequência em relação ao número de onda na relação de dispersão: v_g = ω ’(k).

A figura a seguir mostra a superposição ou soma de duas ondas harmônicas ou₁= A⋅sen (k₁⋅x - ω₁⋅t) Y ou₂= A⋅sen (k₂⋅x - ω₂⋅t) que viajam em velocidades diferentes v₁= ω₁/ k₁ Y v₂= ω₂/ k₂. Observe como a velocidade do grupo é diferente da velocidade da fase, neste caso, a velocidade do grupo é ∆ω / ∆k.

Dependendo da razão de dispersão, pode até acontecer que a velocidade de fase e a velocidade de grupo, em ondas lineares, tenham direções opostas.

Exemplos de ondas lineares

Ondas eletromagnéticas

As ondas eletromagnéticas são ondas lineares. Sua equação de onda é derivada das equações do eletromagnetismo (equações de Maxwell), que também são lineares.

A equação de Schrödinger

É a equação que descreve a dinâmica das partículas na escala atômica, onde as características das ondas são relevantes, por exemplo, o caso dos elétrons no átomo.

Portanto, a "onda eletrônica" ou função de onda, como também é chamada, é uma onda linear.

Ondas em águas profundas

Ondas lineares também são aquelas em que a amplitude é muito menor que o comprimento de onda e o comprimento de onda muito maior que a profundidade. As ondas em águas profundas seguem a teoria linear (conhecida como teoria das ondas de Airy).

No entanto, a onda que se aproxima da costa e forma a crista curling característica (e que os surfistas adoram) é uma onda não linear.

O som

Como o som é um pequeno distúrbio da pressão atmosférica, ele é considerado uma onda linear. No entanto, a onda de choque de uma explosão ou a frente de onda de uma aeronave supersônica são exemplos típicos de uma onda não linear.

Ondas em uma corda esticada

As ondas que se propagam por meio de uma corda esticada são lineares, desde que a pulsação inicial seja de pequena amplitude, ou seja, o limite elástico da corda não seja ultrapassado.

As ondas lineares nas cordas são refletidas em suas pontas e se sobrepõem, dando origem a ondas estacionárias ou modos vibracionais que dão os tons harmônicos e sub-harmônicos característicos dos instrumentos de cordas.

Referências

Griffiths G e Schiesser W. Linear and Nonlinear Waves. Recuperado de: sholarpedia.org.
Whitham G.B. (1999) "Linear and Nonlinear Waves". Wiley.
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Wikiwaves. Ondas não lineares. Recuperado de: wikiwaves.org