Mínimos quadrados: método, exercícios e para que serve - Ciência - 2023

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O método de Mínimos quadrados é uma das aplicações mais importantes na aproximação de funções. A ideia é encontrar uma curva tal que, dado um conjunto de pares ordenados, essa função se aproxime melhor dos dados. A função pode ser uma linha, uma curva quadrática, uma cúbica, etc.

A ideia do método consiste em minimizar a soma dos quadrados das diferenças na ordenada (componente Y), entre os pontos gerados pela função escolhida e os pontos pertencentes ao conjunto de dados.

Método dos mínimos quadrados

Antes de fornecer o método, devemos primeiro ser claros sobre o que significa “abordagem melhor”. Suponha que estejamos procurando uma linha y = b + mx que melhor representa um conjunto de n pontos, a saber {(x1, y1), (x2, y2)…, (xn, yn)}.

Conforme mostrado na figura anterior, se as variáveis xey estivessem relacionadas pela reta y = b + mx, então para x = x1 o valor correspondente de y seria b + mx1. No entanto, esse valor é diferente do valor verdadeiro de y, que é y = y1.

Lembre-se de que, no plano, a distância entre dois pontos é dada pela seguinte fórmula:

Com isso em mente, para determinar a forma de escolher a reta y = b + mx que melhor se aproxima dos dados fornecidos, parece lógico usar como critério a seleção da reta que minimiza a soma dos quadrados das distâncias entre os pontos e o direto.

Como a distância entre os pontos (x1, y1) e (x1, b + mx1) é y1- (b + mx1), nosso problema se reduz a encontrar os números m e b de modo que a seguinte soma seja mínima:

A linha que atende a essa condição é conhecida como "aproximação da linha de mínimos quadrados aos pontos (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)".

Uma vez obtido o problema, resta apenas escolher um método para encontrar a aproximação dos mínimos quadrados. Se os pontos (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn) estão todos na linha y = mx + b, teríamos que eles são colineares y:

Nesta expressão:

Finalmente, se os pontos não são colineares, então y-Au = 0 e o problema pode ser traduzido em encontrar um vetor u tal que a norma euclidiana seja mínima.

Encontrar o vetor de minimização u não é tão difícil quanto você pode imaginar. Como A é uma matriz nx2 e u é uma matriz 2 × 1, temos que o vetor Au é um vetor em Rⁿ y pertence à imagem de A, que é um subespaço de Rⁿ com uma dimensão não maior que dois.

Vamos supor que n = 3 para mostrar qual procedimento seguir. Se n = 3, a imagem de A será um plano ou uma linha passando pela origem.

Seja v o vetor de minimização. Na figura, observamos que y-Au é minimizado quando é ortogonal à imagem de A. Ou seja, se v é o vetor de minimização, então acontece que:

Então, podemos expressar o acima desta forma:

Isso só pode acontecer se:

Finalmente, resolvendo para v, temos:

É possível fazer isso porque A^tA é invertível, desde que os n pontos de dados não sejam colineares.

Agora, se em vez de procurar por uma linha quiséssemos encontrar uma parábola (cuja expressão seria da forma y = a + bx + cx²) que era uma melhor aproximação para os n pontos de dados, o procedimento seria conforme descrito abaixo.

Se os n pontos de dados estivessem na referida parábola, teríamos:

Então:

Da mesma forma, podemos escrever y = Au. Se todos os pontos não estão na parábola, temos que y-Au é diferente de zero para qualquer vetor u e nosso problema é novamente: encontre um vetor u em R3 tal que sua norma || y-Au || seja o menor possível.

Repetindo o procedimento anterior, podemos chegar a que o vetor procurado é:

Exercícios resolvidos

Exercício 1

Encontre a reta que melhor se ajusta aos pontos (1,4), (-2,5), (3, -1) e (4,1).

Solução

Temos que:

Então:

Portanto, concluímos que a linha que melhor se ajusta aos pontos é dada por:

Exercício 2

Suponha que um objeto seja lançado de uma altura de 200 m. À medida que cai, as seguintes etapas são realizadas:

Sabemos que a altura do referido objeto, depois de decorrido um tempo t, é dada por:

Se quisermos obter o valor de g, podemos encontrar uma parábola que é a melhor aproximação dos cinco pontos dados na tabela, e assim teríamos que o coeficiente que acompanha t² será uma aproximação razoável para (-1/2) g se as medições forem precisas.

Temos que:

E logo:

Portanto, os pontos de dados são ajustados pela seguinte expressão quadrática:

Então, você tem que:

Este é um valor que está razoavelmente próximo do correto, que é g = 9,81 m / s². Para obter uma aproximação mais exata de g, seria necessário partir de observações mais precisas.

Para que serve?

Nos problemas que ocorrem nas ciências naturais ou sociais, é conveniente escrever as relações que existem entre as diferentes variáveis por meio de alguma expressão matemática.

Por exemplo, em economia, podemos relacionar custo (C), receita (I) e lucros (U) por meio de uma fórmula simples:

Em física, podemos relacionar a aceleração causada pela gravidade, o tempo que um objeto está caindo e a altura do objeto por lei:

Na expressão anterior s_ou é a altura inicial do referido objeto ev_ou é sua velocidade inicial.

No entanto, encontrar fórmulas como essas não é uma tarefa fácil; geralmente cabe ao profissional de plantão trabalhar com uma grande quantidade de dados e realizar repetidamente vários experimentos (a fim de verificar se os resultados obtidos são constantes) para encontrar relações entre os diferentes dados.

Uma maneira comum de conseguir isso é representar os dados obtidos em um plano como pontos e procurar uma função contínua que se aproxime de maneira ideal desses pontos.

Uma das maneiras de encontrar a função que "melhor se aproxima" dos dados fornecidos é pelo método dos mínimos quadrados.

Além disso, como também vimos no exercício, graças a este método, podemos obter aproximações bastante próximas das constantes físicas.

Referências

Charles W Curtis Linear Algebra. Springer-Velarg
Kai Lai Chung. Teoria de Proabilidade Elementar com Processos Estocásticos. Springer-Verlag New York Inc
Richar L Burden e J.Douglas Faires. Análise Numérica (7ed). Thompson Learning.
Stanley I. Grossman. Aplicações da Álgebra Linear. MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE MEXICO
Stanley I. Grossman. Álgebra Linear. MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE MEXICO