Antiderivada: fórmulas e equações, exemplos, exercícios - Ciência - 2023

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UMA antiderivadaF (x) de uma função F(x) também é chamado de primitivo ou simplesmente a integral indefinida da referida função, se em um determinado intervalo Eu, É verdade queF´ (x) = f (x)

Por exemplo, vamos usar a seguinte função:

f (x) = 4x³

Uma antiderivada desta função é F (x) = x⁴, já que ao derivar F (x) por meio da regra de derivação para potências:

Obtemos precisamente f (x) = 4x³.

No entanto, esta é apenas uma das muitas antiderivadas de f (x), uma vez que esta outra função: G (x) = x⁴ + 2 também é assim, porque ao diferenciar G (x) em relação a x, o mesmo retorna f (x).

Vamos dar uma olhada:

Lembre-se de que a derivada de uma constante é 0. Portanto, o termo x⁴ você pode adicionar qualquer constante e sua derivada permanecerá 4x³.

Conclui-se que qualquer função da forma geral F (x) = x⁴ + C, onde C é uma constante real, serve como a antiderivada de f (x).

O exemplo ilustrativo acima pode ser expresso assim:

dF (x) = 4x³ dx

A antiderivada ou integral indefinida é expressa com o símbolo ∫, portanto:

F (x) = ∫4x³ dx = x⁴ + C

Onde a função f (x) = 4x³ se denomina integrando, e C é o constante de integração.

Exemplos de antiderivadas

Encontrar uma antiderivada de uma função é simples em alguns casos onde os derivados são bem conhecidos. Por exemplo, seja a função f (x) = sin x, uma antiderivada para ela é outra função F (x), de forma que ao diferenciá-la obtemos f (x).

Essa função pode ser:

F (x) = - cos x

Vamos verificar se é verdade:

F´ (x) = (- cos x) ´ = - (-sen x) = sin x

Portanto, podemos escrever:

∫sen x dx = -cos x + C

Além de conhecer as derivadas, existem regras básicas e simples de integração para encontrar a antiderivada ou integral indefinida.

Seja k uma constante real, então:

1.- ∫kdx = k ∫dx = kx + C

2.- ∫kf (x) dx = k ∫f (x) dx

Se uma função h (x) pode ser expressa como a adição ou subtração de duas funções, então sua integral indefinida é:

3.- ∫h (x) dx = ∫ [f (x) ± g (x)] dx = ∫f (x) dx ± ∫g (x) dx

Esta é a propriedade da linearidade.

o regra de poderes para integrais, pode ser definido assim:

Para o caso de n = -1, a seguinte regra é usada:

5.- ∫x ^-1 dx = ln x + C

É fácil mostrar que a derivada de ln x é precisamente x ^-1.

Equações diferenciais

Uma equação diferencial é aquela em que a incógnita é encontrada como uma derivada.

Agora, a partir da análise anterior, é fácil perceber que a operação inversa da derivada é a antiderivada ou integral indefinida.

Seja f (x) = y´ (x), ou seja, a derivada de uma determinada função. Podemos usar a seguinte notação para indicar esta derivada:

Segue-se imediatamente que:

dy = f (x) dx

A incógnita da equação diferencial é a função y (x), aquela cuja derivada é f (x). Para resolvê-lo, a expressão anterior é integrada em ambos os lados, o que equivale a aplicar a antiderivada:

∫dy = ∫f (x) dx

A integral esquerda é resolvida pela regra de integração 1, com k = 1 e assim a incógnita desejada é resolvida:

y (x) = ∫f (x) dx = F (x) + C

E como C é uma constante real, para saber qual é a mais apropriada em cada caso, o enunciado deve conter informações adicionais suficientes para calcular o valor de C. Isso é chamado condição inicial.

Veremos exemplos de aplicação de tudo isso na próxima seção.

Exercícios antiderivados

- Exercício 1

Aplique as regras de integração para obter as seguintes antiderivadas ou integrais indefinidos das funções dadas, simplificando os resultados tanto quanto possível. É conveniente verificar o resultado por derivação.

Solução para

Aplicamos a regra 3 primeiro, uma vez que o integrando é a soma de dois termos:

∫ (x + 7) dx = ∫ xdx + ∫7dx

Para a primeira integral, a regra de poderes se aplica:

∫ xdx = (x² / 2) + C₁

A regra 1 se aplica à segunda integral, onde k = 7:

∫7dx = 7∫dx = 7x + C₂

E agora os resultados foram adicionados. As duas constantes são agrupadas em uma, genericamente denominada C:

∫ (x + 7) dx = (x² / 2) + 7x + C

Solução b

Por linearidade, esta integral é decomposta em três integrais mais simples, aos quais a regra de potência será aplicada:

∫ (x^3/2 + x²+ 6) dx = ∫x^3/2 dx + ∫x²dx + ∫6 dx =

Observe que uma constante de integração aparece para cada integral, mas eles se encontram em uma única chamada C.

Solução c

Nesse caso, é conveniente aplicar a propriedade distributiva de multiplicação para desenvolver o integrando. Em seguida, a regra de potência é usada para encontrar cada integral separadamente, como no exercício anterior.

∫ (x + 1) (3x-2) dx = ∫ (3x²-2x + 3x-2) dx = ∫ (3x²+ x - 2) dx

O leitor atento notará que os dois termos centrais são semelhantes, portanto, eles são reduzidos antes de integrar:

∫ (x + 1) (3x-2) dx = ∫3x²dx + ∫ x dx + ∫- 2 dx = x³ + (1/2) x² - 2x + C

Solução e

Uma maneira de resolver a integral seria desenvolver a potência, como foi feito no exemplo d. Porém, como o expoente é maior, seria conveniente alterar a variável, para não ter que fazer um desenvolvimento tão longo.

A mudança de variável é a seguinte:

u = x + 7

Derivando esta expressão para ambos os lados:

du = dx

A integral é transformada em uma mais simples com a nova variável, que é resolvida com a regra de potência:

∫ (x + 7)⁵ dx = ∫ u⁵ du = (1/6) u⁶ + C

Finalmente, a alteração é retornada para retornar à variável original:

∫ (x + 7)⁵ dx = (1/6) (x + 7)⁶ + C

- Exercício 2

Uma partícula está inicialmente em repouso e se move ao longo do eixo x. Sua aceleração para t> 0 é dada pela função a (t) = cos t. Sabe-se que em t = 0 a posição é x = 3, tudo em unidades do Sistema Internacional. É solicitado encontrar a velocidade v (t) e a posição x (t) da partícula.

Solução

Uma vez que a aceleração é a primeira derivada da velocidade em relação ao tempo, temos a seguinte equação diferencial:

a (t) = v´ (t) = cos t

Segue que:

v (t) = ∫ cos t dt = sin t + C₁

Por outro lado, sabemos que a velocidade por sua vez é a derivada da posição, portanto integramos novamente:

x (t) = ∫ v (t) dt = ∫ (sin t + C₁) dt = ∫sen t dt + ∫C₁ dt = - cos t + C₁ t + C₂

As constantes de integração são determinadas a partir das informações fornecidas na declaração. Em primeiro lugar, diz que a partícula estava inicialmente em repouso, portanto v (0) = 0:

v (0) = sen 0 + C₁ = 0

C₁ = 0

Então temos x (0) = 3:

x (0) = - cos 0 + C₁ 0 + C₂= - 1 + C₂ = 3 → C₂= 3+1=4

As funções de velocidade e posição são definitivamente assim:

v (t) = sin t

x (t) = - cos t + 4

Referências

Engler, A. 2019. Integral Calculus. Universidade Nacional do Litoral.
Larson, R. 2010. Cálculo de uma variável. 9º. Edição. McGraw Hill.
Textos Livres de Matemática. Antiderivados. Recuperado de: math.liibretexts.org.
Wikipedia. Antiderivado. Recuperado de: en.wikipedia.org.
Wikipedia. Integração indefinida. Recuperado de: es.wikipedia.org.