Multiplicação de frações: como fazer, exemplos, exercícios - Ciência - 2023

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o multiplicação de frações é uma operação aritmética entre duas ou mais frações que resulta em uma nova fração. Seu numerador é encontrado multiplicando-se os numeradores das frações participantes, e o denominador é encontrado da mesma forma.

Vamos ver com um exemplo na imagem a seguir. Suponha que temos duas frações a / be c / d, com b e d diferentes de 0.

Para fazer a multiplicação entre eles, faz-se o produto entre os numeradores e também o dos denominadores. Desta forma, uma nova fração é criada onde o numerador e denominador são, respectivamente: (a × c) e (b × d).

Este procedimento é facilmente estendido para a multiplicação de três ou mais frações. Vamos ver mais detalhes abaixo.

Como você multiplica frações?

O produto pode ser simbolizado por uma cruz ou por um ponto intercalado entre as frações. Além disso, deve-se levar em consideração que as frações podem ter sinal positivo ou negativo, por isso é necessário ter cuidado para seguir a regra dos sinais:

-Quando dois números de sinal de igual são multiplicados, o produto é positivo.

-Se duas quantidades de sinais diferentes são multiplicadas, o resultado é negativo.

Desta maneira:

Se o numerador e o denominador das frações participantes não forem primos entre si, é aconselhável simplificá-los antes de fazer a multiplicação das frações. Dessa forma, números menores e mais gerenciáveis são obtidos na execução dos produtos.

Propriedades de multiplicação de frações

Produto por 0

Qualquer fração multiplicada por 0 é igual a 0:

Produto por 1

Cada fração multiplicada por 1 é igual a si mesma:

Portanto, 1 é considerado o elemento neutro de multiplicação. Observe que o inteiro 1 tem uma expressão fracionária:

De forma que possamos multiplicar 1 por qualquer fração, usando a regra já explicada. Então:

Propriedade comutativa

A multiplicação das frações é comutativa, o que significa que a ordem dos fatores não altera o produto:

Propriedade associativa

A multiplicação de frações também é associativa, podemos verificar multiplicando três frações:

Onde, como sempre, os denominadores b, d e f são diferentes de 0.

Em palavras: se vamos multiplicar três frações, podemos escolher fazer o produto das duas primeiras e multiplicar o resultado pela terceira fração. Ou multiplique os dois últimos e, finalmente, multiplique o resultado pela primeira das frações.

Qualquer que seja a ordem escolhida, o resultado será o mesmo. Vamos dar uma olhada:

Para realizar a operação, as duas primeiras frações foram multiplicadas da esquerda para a direita. O resultado, por sua vez, foi multiplicado pela terceira fração para obter o resultado final.

A outra alternativa é multiplicar as duas últimas frações, deixando a primeira em espera. O leitor pode perceber que o resultado intermediário consiste em duas frações diferentes daquelas obtidas de outra forma. Mas o resultado final é o mesmo:

Propriedade distributiva em relação à soma

Sejam três frações a / b, c / d e e / f, com b, d e f diferentes de 0. A multiplicação é distributiva em relação à adição.

Suponha que desejamos realizar a seguinte operação:

A forma de realizá-lo, através desta propriedade, é a seguinte:

Portanto, o produto de um número pela soma de dois outros pode ser feito somando dois produtos: o primeiro pelo segundo e o primeiro pelo terceiro. É muito simples através de um exemplo:

O resultado final parece simplificado ao máximo, conforme explicado acima.

Exemplos

Multiplicação de uma fração por um inteiro

Suponha que você queira multiplicar uma fração a / b por um inteiro n:

Anteriormente, vimos que o número 1 pode ser expresso como uma fração, simplesmente colocando como denominador 1. Podemos fazer o mesmo com qualquer inteiro n, já que dividi-lo por 1 não o altera em nada. Então:

Por exemplo:

Exemplo 2: multiplicação de uma fração por um número misto

Um número misto ou fração mista é aquele que tem uma parte inteira e uma parte fracionária. Para fazer o produto de tal número, seja com uma fração, outro número misto ou com um número inteiro, é necessário transformá-lo em uma fração.

A fração que representa um número misto é um Fração imprópria, aquele cujo numerador tem maior valor absoluto que o denominador.

Podemos obtê-lo por meio da soma da parte inteira, convenientemente expressa como uma fração, colocando 1 como denominador, mais a parte fracionária.

Na imagem há um exemplo de número misto, que mostra a frequência deles. Temos 2 copos e meio de água, que como um número misto é expresso da seguinte forma:

2 ½

Obtemos a fração imprópria que o representa:

Exercícios resolvidos

Exercício 1

Realize a seguinte operação:

Solução

O número 1 ¾ é um número misto. Sua parte inteira é 1 e sua parte fracionária é ¾. Se realizarmos a operação: 1 + ¾, o número misto torna-se uma fração imprópria.

1 + ¾ = (4+3) /4 = 7/4

Uma vez que o número misto foi transformado em uma fração imprópria, a operação de multiplicação é realizada como de costume:

Exercício 2

A idade do José é ½ dos 2/3 da idade do Manuel. Se Manuel tem 24 anos, qual é a idade do José?

Solução

Seja x a idade de José, uma incógnita que devemos encontrar. O depoimento diz-nos que Manuel tem 24 anos, portanto este valor é conhecido.

Para determinar a idade do José, façamos as operações indicadas pela declaração: “A idade do José é ½ dos 2/3 da idade do Manuel”.

Trata-se da multiplicação de duas frações por um número inteiro:

Podemos multiplicar as duas primeiras frações de acordo com as regras descritas anteriormente. Por sua vez, o número 24 é um inteiro, mas já sabemos que não há problema em transformá-lo em fração, bastando colocar 1 como denominador:

Isto é o que nos resta após o cancelamento:

Referências

Baldor, A. 1986. Arithmetic. Codex de edições e distribuições.
Carena, M. 2019. Manual of Mathematics. Universidade Nacional do Litoral.
Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
Sangaku Maths. Multiplicação de frações. Recuperado de: sangakoo.com.
Smartick. Multiplicação de frações. Recuperado de: smartick.es.