Derivados implícitos: como são resolvidos e os exercícios resolvidos - Ciência - 2023

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As derivados implícitos São ferramentas utilizadas em uma técnica de diferenciação aplicada a funções. Eles são aplicados quando não é possível, com métodos regulares, limpar a variável dependente a ser derivada. Este afastamento é realizado em função da variável independente.

Por exemplo, na expressão 3xy³ - 2y + xy² = xy, você não pode obter a expressão que define “y” como uma função de “x”. Assim, derivando a expressão diferencial dy / dx, pode-se obter.

Como os derivados implícitos são resolvidos?

Para resolver uma derivada implícita, começamos com uma expressão implícita. Por exemplo: 3xy³ - 2y + xy² - xy = 0. Isso já foi resolvido corretamente, mas fazê-lo não é uma condição necessária para obter a derivada de y em relação a x. Então, cada um dos elementos é derivado respeitando a regra da cadeia para funções mistas:

3xy³ é composto por 2 variáveis, portanto d (3xy³) será tratado como o derivado de um produto de funções.

d (3xy³) / dx = 3y³ + 3a². (3x) y ’= 3y³ + 9xy²Y '

Onde o elemento y 'é conhecido como "e prima”Y representa dy / dx

-2y É derivado de acordo com a lei K.U = K.U ’

d (-2y) = -2 y '

xy² assume outro diferencial composto por um produto de funções

d (xy²) = e² + 2xy e '

-xy é tratado de forma homóloga

d (-xy) = -y - x y '

Eles são substituídos em igualdade, sabendo que a derivada de zero é zero.

3 anos³ + 9xy²y '- 2 y' + y² + 2xy y '- y - x y' = 0

Os elementos que possuem o termo y 'são agrupados em um lado da igualdade.

3 anos³+ e² - y = -9xy²y '+ 2 y' + x y '

O fator comum y 'é extraído do lado direito da igualdade

3 anos³+ e² - y = y '(-9xy² + x + 2)

Finalmente, o termo que multiplica y 'é apagado. Obtendo assim a expressão correspondente à derivada implícita de y em relação a x.

y ’= dy / dx = (3y³+ e² - y) / (- 9xy² + x + 2)

Regra da corrente

Na derivação implícita, a regra da cadeia é sempre respeitada. Todas as expressões diferenciais serão fornecidas como uma função da variável independente X. Portanto, toda variável θ diferente de X deve incluir o termo dθ / dx após ser derivada.

Este termo aparecerá apenas no primeiro grau ou com um expoente igual a 1. Esta qualidade torna-o completamente claro sob os métodos tradicionais de fatoração. Assim, é possível obter a expressão que define o diferencial dθ / dx.

A regra da cadeia mostra a natureza progressiva do processo de diferenciação ou derivação. Onde para cada função composta f [g (x)], temos que a expressão diferencial de f será

Ordem operacional

Em cada fórmula ou lei de derivação aplicada, a ordem das variáveis deve ser levada em consideração. Os critérios associados à variável independente são respeitados, sem alterar sua correlação com a variável dependente.

O relacionamento da variável dependente no momento da derivação é obtido diretamente; Com a exceção de que será considerada uma segunda função, razão pela qual o critério da regra da cadeia é aplicado para funções mistas.

Isso pode ser desenvolvido em expressões com mais de 2 variáveis. Sob os mesmos princípios, todos os diferenciais referentes às variáveis dependentes serão denotados.

Graficamente, o mesmo critério que define a derivada é tratado. Enquanto a derivada é a inclinação da linha tangente à curva no plano, o resto das diferenciais pertencentes às variáveis dependentes (dy / dx, dz / dx) representam planos tangentes aos corpos vetoriais descritos pelas funções de variáveis múltiplas.

Implícito de uma função

Uma função é considerada implicitamente definida, se a expressão y = f (x) pode ser representada como uma função de variável múltipla F (x, y) = 0, desde que F seja definido no plano R².

3xy³ - 2y + xy² = xy pode ser escrito na forma 3xy³ - 2y + xy² - xy = 0

Tendo em vista a impossibilidade de explicitar a função y = f (x).

História

O cálculo diferencial começou a ser denominado por vários pesquisadores matemáticos por volta do século XVII. A primeira vez que foi mencionado foi por meio das contribuições de Newton e Leibniz. Ambos trataram o cálculo diferencial de diferentes pontos de vista, mas convergindo em seus resultados.

Enquanto Newton se concentrava na diferenciação como uma velocidade ou taxa de mudança, a abordagem de Leibniz era mais geométrica. Pode-se dizer que Newton atacou as conjecturas deixadas por Apolônio de Perge e Leibniz às ideias geométricas de Fermat.

A derivação implícita aparece imediatamente ao considerar as equações diferenciais e integrais. Isso estendeu o conceito geométrico de Leibniz para R³ e até mesmo para espaços multidimensionais.

Formulários

Derivados implícitos são usados em várias situações. São comuns em problemas de câmbio entre variáveis relacionadas, onde, dependendo do sentido do estudo, as variáveis serão consideradas dependentes ou independentes.

Eles também têm aplicações geométricas interessantes, como em problemas de reflexão ou sombra, em figuras cuja forma pode ser modelada matematicamente.

Eles são freqüentemente usados nas áreas de economia e engenharia, bem como em várias investigações de fenômenos naturais e edifícios experimentais.

Exercícios resolvidos

Exercício 1

Defina a expressão implícita que define dy / dx

Cada elemento da expressão é diferenciado

Estabelecer a regra da cadeia em cada caso competente

Agrupando em um lado da igualdade os elementos que possuem dy / dx

É fatorado usando o fator comum

Resolve-se obtendo a expressão procurada

Exercício 2

Defina a expressão implícita que define dy / dx

Expressando os derivados a serem realizados

Derivando implicitamente de acordo com a regra da cadeia

Elementos comuns de fatoração

Agrupando o termo dy / dx em um lado da igualdade

Fator comum ao elemento diferencial

Nós isolamos e obtemos a expressão procurada

Referências

Cálculo de uma única variável. Ron Larson, Bruce H. Edwards. Cengage Learning, 10 de novembro 2008
O Teorema da Função Implícita: História, Teoria e Aplicações. Steven G. Krantz, Harold R. Parks. Springer Science & Business Media, 9 de novembro. 2012
Análise multivariável. Satish Shirali, Harkrishan Lal Vasudeva. Springer Science & Business Media, 13 de dezembro. 2010
Dinâmica de sistemas: modelagem, simulação e controle de sistemas mecatrônicos. Dean C. Karnopp, Donald L. Margolis, Ronald C. Rosenberg. John Wiley & Sons, 7 de março 2012
Cálculo: Matemática e Modelagem. William Bauldry, Joseph R. Fiedler, Frank R. Giordano, Ed Lodi, Rick Vitray. Addison Wesley Longman, 1º de janeiro 1999