Módulo de Young: cálculo, aplicações, exemplos, exercícios - Ciência - 2023

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Módulo de Young: cálculo, aplicações, exemplos, exercícios - Ciência
Módulo de Young: cálculo, aplicações, exemplos, exercícios - Ciência

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o Módulo de Young ou módulo de elasticidade é a constante que relaciona a tensão de tração ou compressão com o respectivo aumento ou diminuição do comprimento do objeto submetido a essas forças.

Forças externas aplicadas a objetos podem não apenas mudar seu estado de movimento, mas também podem mudar sua forma ou mesmo quebrá-los ou fraturá-los.

O módulo de Young é usado para estudar as mudanças produzidas em um material quando uma força de tração ou compressão é aplicada externamente. É muito útil em disciplinas como engenharia ou arquitetura.

O modelo deve o seu nome ao cientista britânico Thomas Young (1773-1829), que foi quem realizou estudos de materiais propondo uma medida da rigidez de diferentes materiais.


Qual é o modelo de Young?

Quanto um objeto pode ser deformado? Isso é algo que os engenheiros sempre desejam saber. A resposta dependerá das propriedades do material e das dimensões que possui.

Por exemplo, você pode comparar duas barras de alumínio com dimensões diferentes. Cada um tem uma seção transversal e um comprimento diferentes, e ambos estão sujeitos à mesma força de tração.

O comportamento esperado será o seguinte:

- Quanto maior a espessura (seção transversal) da barra, menor o estiramento.

- Quanto maior o comprimento inicial, maior será o trecho final.

Isso faz sentido porque, afinal, a experiência indica que tentar deformar um elástico não é o mesmo que tentar fazê-lo com uma haste de aço.

Um parâmetro chamado módulo de elasticidade do material é uma indicação de sua resposta elástica.


Como é calculado?

Por ser médico, Young queria saber o papel da elasticidade das artérias no bom desempenho da circulação sanguínea. A partir de suas experiências, ele concluiu a seguinte relação empírica:

A tensão é proporcional à deformação, desde que o limite elástico do material não seja ultrapassado.

É possível representar graficamente o comportamento de um material sob a aplicação de tensões, conforme mostrado na figura a seguir.

Da origem ao ponto A

Na primeira seção, que vai da origem ao ponto A, o gráfico é uma linha reta. A Lei de Hooke é válida lá:

F = kx

Onde F é a magnitude da força que retorna o material ao seu estado original, x é a deformação experimentada por ele e k é uma constante que depende do objeto submetido ao estresse.


As deformações aqui consideradas são pequenas e o comportamento é perfeitamente elástico.

De a para B

De A a B, o material também se comporta elasticamente, mas a relação entre tensão e deformação não é mais linear.

De B ​​a C

Entre os pontos B e C, o material sofre uma deformação permanente, não podendo retornar ao seu estado original.

De C

Se o material continua a esticar a partir do ponto C, ele eventualmente se quebra.

Matematicamente, as observações de Young podem ser resumidas da seguinte forma:

Tensão ∝ Tensão

Onde a constante de proporcionalidade é precisamente o módulo de elasticidade do material:

Tensão = Módulo de Elasticidade x Deformação

Existem muitas maneiras de deformar materiais. Os três tipos mais comuns de estresse aos quais um objeto está sujeito são:

- Tensão ou alongamento.

- Compressão.

- Corte ou tesoura.

Um estresse a que os materiais são comumente submetidos, por exemplo, na construção civil ou em peças automotivas, é a tração.

Fórmulas

Quando um objeto de comprimento L é esticado ou tensionado, ele está sendo submetido a uma tração que causa uma variação em seu comprimento. Um diagrama desta situação está representado na figura 3.

Isso requer que uma força de magnitude F seja aplicada por unidade de área em suas extremidades, para causar alongamento, de forma que seu novo comprimento se torne L + DL.

O esforço feito para deformar o objeto será justamente esta força por unidade de área, enquanto o tensão experiente é ΔL / L.

Denotando o módulo de Young como Y, e de acordo com o acima:

A resposta está no fato de que a deformação indica a deformação relativa em relação ao comprimento original. Não é o mesmo que uma barra de 1 m se estende ou encolhe em 1 cm, já que uma estrutura de 100 metros de comprimento é igualmente deformada em 1 cm.

Para o bom funcionamento das peças e estruturas, existe uma tolerância quanto às deformações relativas permitidas.

Equação para calcular a deformação

Se a equação acima for analisada da seguinte forma:

- Quanto maior a área da seção transversal, menor será a deformação.

- Quanto maior for o comprimento, maior será a deformação.

- Quanto maior o módulo de Young, menor a deformação.

As unidades de tensão correspondem a newton / metro quadrado (N / m2) São também as unidades de pressão que no Sistema Internacional levam o nome de Pascal. A deformação ΔL / L, por outro lado, é adimensional porque é o quociente entre dois comprimentos.

As unidades do sistema inglês são lb / pol.2 e também são usados ​​com muita frequência. O fator de conversão para ir de um para o outro é: 14,7 lb / in.2 = 1,01325 x 105 Pa

Isso faz com que o módulo de Young também tenha unidades de pressão. Finalmente, a equação acima pode ser expressa para resolver para Y:

Na ciência dos materiais, a resposta elástica destes aos diversos esforços é importante para selecionar o mais adequado para cada aplicação, seja na fabricação de asas de avião ou rolamentos automotivos. As características do material a ser utilizado são determinantes na resposta que dele se espera.

Para escolher o melhor material, é necessário conhecer as tensões a que uma determinada peça será submetida; e consequentemente selecionar o material que possua as propriedades mais alinhadas ao design.

Por exemplo, a asa de um avião deve ser forte, leve e capaz de flexionar. Os materiais usados ​​na construção de edifícios devem resistir em grande medida aos movimentos sísmicos, mas também devem ter uma certa flexibilidade.

Os engenheiros que projetam asas de aeronaves, e também aqueles que escolhem materiais de construção, devem fazer uso de gráficos de tensão-deformação como o mostrado na Figura 2.

As medições para determinar as propriedades elásticas mais relevantes de um material podem ser realizadas em laboratórios especializados. Assim, existem testes padronizados aos quais as amostras são submetidas, aos quais várias tensões são aplicadas e as deformações resultantes são então medidas.

Exemplos

Como já mencionado acima, Y Não depende do tamanho ou forma do objeto, mas sim das características do material.

Outra observação muito importante: para que a equação dada acima seja aplicável, o material deve serisotrópico, ou seja, suas propriedades devem permanecer inalteradas o tempo todo.

Nem todos os materiais são isotrópicos: existem aqueles cuja resposta elástica depende de certos parâmetros direcionais.

A deformação analisada nos segmentos anteriores é apenas uma das muitas a que um material pode estar sujeito. Por exemplo, em termos de tensão de compressão, é o oposto de tensão de tração.

As equações dadas se aplicam a ambos os casos, e quase sempre os valores de Y eles são os mesmos (materiais isotrópicos).

Uma exceção notável é o concreto ou cimento, que resiste melhor à compressão do que à tração. Portanto, deve ser reforçado quando for necessária resistência ao alongamento. O aço é o material indicado para isso, pois resiste muito bem ao estiramento ou tração.

Exemplos de estruturas sujeitas a tensões incluem construir colunas e arcos, elementos de construção clássicos em muitas civilizações antigas e modernas.

Exercícios resolvidos

Exercício 1

Um fio de aço de 2,0 m de comprimento em um instrumento musical tem um raio de 0,03 mm. Quando o cabo está sob uma tensão de 90 N: quanto muda seu comprimento?Facto: O módulo de aço de Young é 200 x 109 N / m2

Solução

É necessário calcular a área da seção transversal A = πR2 = π. (0,03 x 10-3 m)2 = 2,83 x 10-9 m2

O estresse é o estresse por unidade de área:

Como a corda está sob tensão, isso significa que ela se alonga.

O novo comprimento é L = Lou + DL, onde Lou é o comprimento inicial:

L = 2,32 m

Exercício 2

Uma coluna de mármore, a área da seção transversal é de 2,0 m2 suporta uma massa de 25.000 kg. Encontrar:

a) O esforço na coluna.

b) Strain.

c) Quanto mais curta é a coluna se sua altura é de 12 m?

Facto: O módulo de mármore de Young é 50 x 109 N / m2

Solução

a) O esforço na coluna é devido ao peso dos 25.000 kg:

P = mg = 25.000 kg x 9,8 m / s2 = 245.000 N

Portanto, o esforço é:

b) A tensão é ΔL / L:

c) ΔL é a variação do comprimento, dado por:

ΔL = 2,45 x 10-6 x 12 m = 2,94 x10-5 m = 0,0294 mm.

Não se espera que a coluna de mármore encolha significativamente. Observe que embora o módulo de Young seja mais baixo no mármore do que no aço, e que a coluna também suporte uma força muito maior, seu comprimento quase não varia.

Por outro lado, no cabo do exemplo anterior a variação é muito mais sensível, embora o aço tenha um módulo de Young muito maior.

A sua grande secção transversal intervém na coluna e, por isso, é muito menos deformável.

Sobre Thomas Young

O módulo de elasticidade tem o nome de Thomas Young (1773-1829), um versátil cientista britânico que fez grandes contribuições para a ciência em muitas áreas.

Como físico, Young não apenas estudou a natureza ondulatória da luz, evidenciada pelo famoso experimento da fenda dupla, mas também foi médico, linguista e até ajudou a decifrar alguns dos hieróglifos egípcios na famosa pedra de Roseta.

Ele era membro da Royal Society, da Royal Swedish Academy of Sciences, da American Academy of Arts and Sciences ou da French Academy of Sciences, entre outras nobres instituições científicas.

No entanto, deve-se notar que o conceito do modelo foi desenvolvido anteriormente por Leonhar Euler (1707-1873), e que cientistas como Giordano Riccati (1709-1790) já realizaram um experimento que teria colocado o modelo de Young em prática. .

Referências

  1. Bauer, W. 2011. Physics for Engineering and Sciences. Volume 1. Mac Graw Hill. 422-527.
  2. Giancoli, D. 2006. Física: Princípios com Aplicações. Sexta Edição. Prentice Hall. 238–249.