Funções trigonométricas inversas: valor, derivadas, exemplos, exercícios - Ciência - 2023

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As funções trigonométricas inversasComo o nome indica, são as funções inversas correspondentes das funções seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante.

As funções trigonométricas inversas são denotadas pelo mesmo nome de sua função trigonométrica direta correspondente mais o prefixo arco. Desta forma:

1.- arcsen (x) é a função trigonométrica inversa da função sen (x)

2.- arccos (x) é a função trigonométrica inversa da função cos (x)

3.- arctan (x) é a função trigonométrica inversa da função então (x)

4.- arccot (x) é a função trigonométrica inversa da função berço (x)

5.- arcsec (x) é a função trigonométrica inversa da função seg (x)

6.- arccsc (x) é a função trigonométrica inversa da função csc (x)

A função θ = arcsen (x) resulta em um arco unitário θ (ou ângulo em radianos θ) tal que sin (θ) = x.

Então, por exemplo, arcsen (√3 / 2) = π / 3, uma vez que, como é conhecido, o seno de π / 3 radianos é igual a √3 / 2.

Valor principal das funções trigonométricas inversas

Para uma função matemática f (x) ter um inverso g (x) = f^-1(x) é necessário que esta função seja injetivo, o que significa que cada valor y do conjunto de chegada da função f (x) vem de um e apenas um valor x.

É claro que este requisito não é cumprido por nenhuma função trigonométrica. Para esclarecer o ponto, vamos notar que o valor y = 0,5 pode ser obtido a partir da função seno das seguintes maneiras:

sin (π / 6) = 0,5
sin (5π / 6) = 0,5
sin (7π / 6) = 0,5

E muito mais, já que a função seno é periódica com período 2π.

Para definir funções trigonométricas inversas, é necessário restringir o domínio de suas funções trigonométricas diretas correspondentes, de modo que atendam ao requisito de injetividade.

Esse domínio restrito da função direta será o posto ou ramo principal de sua função inversa correspondente.

Tabela de domínios e intervalos de funções trigonométricas inversas

Derivadas de funções trigonométricas inversas

Para obter as derivadas de funções trigonométricas inversas, as propriedades das derivadas são aplicadas, em particular a derivada de uma função inversa.

Se denotarmos por f (y) a função e por f^-1(x) à sua função inversa, então a derivada da função inversa está relacionada à derivada da função direta pela seguinte relação:

[F^-1(x)] ’= 1 / f’ [f^-1(x)]

Por exemplo: se x = f (y) = √y é a função direta, seu inverso será

y = f^-1(x) = x². Vamos aplicar a regra da derivada do inverso a este caso simples para ver se essa regra é realmente cumprida:

[x²] ’= 1 / [√y]’ = 1 / (½ a^-½ = 2 e^½ = 2 (x²)^½ = 2x

Bem, podemos usar este truque para encontrar as derivadas das funções trigonométricas inversas.

Por exemplo, nós pegamos θ = arcsen (x) como função direta, então sua função inversa será sin (θ) = x.

[arcsen (x)] ’= 1 / [sin (θ)]’ = 1 / cos (θ) = 1 / √ (1 - sin (θ)²) = …

… = 1 / √ (1 - x²) .

Desta forma, todas as derivadas das funções trigonométricas inversas podem ser obtidas, as quais são mostradas a seguir:

Essas derivadas são válidas para qualquer argumento z pertencente aos números complexos e, portanto, também são válidas para qualquer argumento real x, uma vez que z = x + 0i.

Exemplos

- Exemplo 1

Encontre arctan (1).

Solução

O arctan (1) é o arco unitário (ângulo em radianos) ፀ tal que tan (ፀ) = 1. Esse ângulo é ፀ = π / 4 porque tan (π / 4) = 1. Então arctan (1) = π / 4.

- Exemplo 2

Calcule arcsen (cos (π / 3)).

Solução

O ângulo π / 3 radianos é um ângulo notável cujo cosseno é ½, então o problema se resume em encontrar arcsen (½).

Em seguida, trata-se de descobrir qual é o ângulo cujo seno dá ½. Esse ângulo é π / 6, pois sin (π / 6) = sin (30º) = ½. Portanto, arcsen (cos (π / 3)) = π / 6.

Exercícios

- Exercício 1

Encontre o resultado da seguinte expressão:

sec (arctan (3)) + csc (arccot (4))

Solução

Começamos por nomear α = arctan (3) e β = arccot (4). Então, a expressão que temos que calcular se parece com esta:

sec (α) + csc (β)

A expressão α = arctan (3) é equivalente a dizer tan (α) = 3.

Como a tangente é a perna oposta à adjacente, construímos um triângulo retângulo com a perna oposta α de 3 unidades e uma perna adjacente de 1 unidade, de modo que tan (α) = 3/1 = 3.

Em um triângulo retângulo, a hipotenusa é determinada pelo teorema de Pitágoras. Com esses valores, o resultado é √10, de modo que:

sec (α) = hipotenusa / perna adjacente = √10 / 1 = √10.

Da mesma forma, β = arccot (4) é equivalente a afirmar que cot (β) = 4.

Construímos um triângulo da perna direita adjacente a β de 4 unidades e uma perna oposta de 1 unidade, de modo que cot (β) = 4/1.

O triângulo é imediatamente concluído ao encontrar sua hipotenusa, graças ao teorema de Pitágoras. Neste caso, descobriu-se que tinha √17 unidades. Então o csc (β) = hipotenusa / perna oposta = √17 / 1 = √17 é calculado.

Lembrando que a expressão que devemos calcular é:

sec (arctan (3)) + csc (arccot (4)) = sec (α) + csc (β) =…

…= √10 + √17 = 3,16 + 4,12 = 7,28.

- Exercício 2

Encontre as soluções de:

Cos (2x) = 1 - Sen (x)

Solução

É necessário que todas as funções trigonométricas sejam expressas no mesmo argumento ou ângulo. Usaremos a identidade do duplo ângulo:

Cos (2x) = 1 - 2 Sen²(x)

Então, a expressão original é reduzida a:

1 - 2 Sen²(x) = 1 - Sen x

Depois de simplificado e fatorado, é expresso como:

sin (x) (2 sin (x) - 1) = 0

O que dá origem a duas equações possíveis: Sen (x) = 0 com solução x = 0 e outra equação sin (x) = ½ com x = π / 6 como solução.

As soluções para a equação são: x = 0 ou x = π / 6.

- Exercício 3

Encontre as soluções da seguinte equação trigonométrica:

cos (x) = sin²(x)

Solução

Para resolver esta equação, é conveniente colocar um único tipo de função trigonométrica, portanto, usaremos a identidade trigonométrica fundamental para que a equação original seja reescrita da seguinte forma:

cos (x) = 1 - cos²(x)

Se nomearmos y = cos (x), a expressão pode ser reescrita como:

Y² + e - 1 = 0

É uma equação de segundo grau em y, cujas soluções são:

y = (-1 ± √5) / 2

Então, os valores de x que satisfazem a equação original são:

x = arccos ((-1 ± √5) / 2)

A solução real é aquela com sinal positivo x = 0,9046 rad = 51,83º.

A outra solução é complexa: x = (π - 1,06 i) rad.

Referências

Hazewinkel, M. 1994. Encyclopaedia of Mathematics. Kluwer Academic Publishers / Springer Science & Business Media.
Mate Mobile. Funções trigonométricas inversas. Recuperado de: matemovil.com
Fórmulas do universo. Funções trigonométricas inversas. Recuperado de: universoformulas.com
Weisstein, Eric W. Inverse Trigonometric Functions. Recuperado de: mathworld.wolfram.com
Wikipedia. Funções trigonométricas inversas. Recuperado de: en.wikipedia.com