Relações de proporcionalidade: conceito, exemplos e exercícios - Ciência - 2023

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As relações de proporcionalidade são ligações entre duas ou mais variáveis, de modo que, quando uma das quantidades varia, o mesmo ocorre com o valor das outras. Por exemplo, se um aumenta, os outros podem aumentar ou diminuir, mas em uma quantidade uniforme.

Os antigos matemáticos gregos perceberam que algumas variáveis estavam relacionadas de uma maneira muito precisa. Eles perceberam que se um círculo tiver o dobro do diâmetro do outro, ele terá uma circunferência com o dobro do comprimento.

E se o diâmetro for triplicado, a circunferência da circunferência também triplicará. Isso significa que um aumento no diâmetro produz um aumento proporcional no tamanho da circunferência.

E assim podemos afirmar que o comprimento da circunferência L é proporcional ao diâmetro D da mesma, que se expressa da seguinte forma:

L ∝ D

Onde o símbolo ∝ indica "diretamente proporcional a”. Para alterar o símbolo de proporcionalidade para o de igualdade e incorporar valores numéricos, é necessário determinar o vínculo entre as variáveis, denominado constante de proporcionalidade.

Depois de fazer muitas medições, os antigos matemáticos determinaram que a constante de proporcionalidade entre o tamanho L da circunferência e o diâmetro D da mesma era o número 3,1416 ... As elipses indicam um número infinito de casas decimais.

Este valor não é outro senão o famoso número π (pi) e desta forma escrevemos:

L = π.D

Desse modo, a relação entre o comprimento e o diâmetro de uma circunferência é igual à relação entre o comprimento e o diâmetro de outra. E a melhor parte é que agora temos uma maneira de calcular o comprimento de qualquer circunferência apenas sabendo seu diâmetro.

Exemplos de relações de proporcionalidade

Na ciência (e na vida cotidiana também) é muito importante encontrar relações entre variáveis, saber como as mudanças em uma afetam a outra. Por exemplo:

-Se você precisar de 3 xícaras de farinha para fazer uma dúzia de biscoitos. Quantas xícaras são necessárias para fazer 2 e meia dúzia?

-Sabendo que no planeta Mercúrio um objeto pesa 4 vezes menos que na Terra, quanto pesará um carro de 1,5 tonelada em Mercúrio?

-Como a mudança na força aplicada afeta a aceleração do corpo sobre o qual é aplicada?

-Se um veículo trafega em uma rodovia com movimento retilíneo uniforme e sabemos que ele percorre 30 km em 10 minutos, qual será a distância percorrida após 20 minutos?

-Quando temos um fio pelo qual passa uma corrente elétrica, como varia a tensão entre suas pontas se aumentar?

-Se o diâmetro de um círculo é duplicado, como sua área é afetada?

-Como a distância afeta a intensidade do campo elétrico produzido por uma carga pontual?

A resposta está nas relações de proporcionalidade, mas nem todas as relações são do mesmo tipo. Então, nós os encontraremos para todas as situações levantadas aqui.

Proporcionalidade direta e proporcionalidade inversa

Duas variáveis x e y estão em proporção direta se estiverem relacionadas por:

y = kx

Onde k é a constante de proporcionalidade. Um exemplo é a relação entre as quantidades de farinha e biscoitos. Se representarmos graficamente essas variáveis, obtemos uma linha reta como a mostrada na figura:

Se y forem as xícaras de farinha e x forem as dúzias de biscoitos, a relação entre eles é:

y = 3x

Para x = 1 dúzia, precisamos de y = 3 xícaras de farinha. E para x = 2,5 dúzias, são necessárias y = 7,5 xícaras de farinha.

Mas também temos:

-Aceleração para que um corpo experimenta é proporcional à força F agindo sobre ela, sendo a massa do corpo, chamada m, a constante de proporcionalidade:

F = mpara

Portanto, quanto maior for a força aplicada, maior será a aceleração produzida.

- Em condutores ôhmicos, a tensão V entre suas pontas é proporcional à corrente que apliquei. A constante de proporcionalidade é a resistência R do condutor:

V = RI

–Quando um objeto se move com movimento retilíneo uniforme, a distância d é proporcional ao tempo t, a velocidade sendo v a constante de proporcionalidade:

d = v.t

Às vezes encontramos duas quantidades tais que um aumento em um produz um diminuir proporcional no outro. Esta dependência é chamada proporção inversa.

Por exemplo, na equação anterior, o tempo t necessário para percorrer uma determinada distância d é inversamente proporcional à velocidade v da viagem:

t = d / v

E assim enquanto superior é a velocidade v, Menos tempo que o carro leva para percorrer a distância d. Se, por exemplo, a velocidade for duplicada, o tempo será reduzido pela metade.

Quando duas variáveis x e y estão em proporção inversa, podemos escrever:

y = k / x

Onde k é a constante de proporcionalidade. O gráfico dessa dependência é:

Outros tipos de proporcionalidade

Em um dos exemplos mencionados anteriormente, nos perguntamos o que acontece com a área do círculo quando o raio aumenta. A resposta é que a área é diretamente proporcional ao quadrado do raio, onde π é a constante de proporcionalidade:

A = πR²

Se o raio for dobrado, a área aumentará por um fator de 4.

E no caso do campo elétrico E produzido por uma carga pontual o que, sabe-se que a intensidade diminui com o inverso do quadrado da distância r para a carga o que:

E = k_e q / r²

Mas também podemos afirmar que a intensidade do campo é diretamente proporcional à magnitude da carga, a constante de proporcionalidade sendo k_e, a constante eletrostática.

Outras proporcionalidades que também são apresentadas em Ciências são a proporcionalidade exponencial e a proporcionalidade logarítmica. No primeiro caso, as variáveis x e y são relacionadas por:

y = k.a^x

Onde a é a base, um número positivo diferente de 0, que geralmente é 10 ou o número e. Por exemplo, o crescimento exponencial de bactérias tem esta forma.

No segundo caso, a relação entre as variáveis é:

y = k.log_para x

Novamente, a é a base do logaritmo, que geralmente é 10 (logaritmo decimal) ou e (logaritmo natural).

Exercícios

- Exercício 1

Sabendo que um objeto no planeta Mercúrio pesa 4 vezes menos que na Terra, quanto pesaria um carro de 1,5 tonelada em Mercúrio?

Solução

Peso em Mercúrio = (1/4) Peso na Terra = (1/4) x 1,5 toneladas = 0,375 toneladas.

- Exercício 2

Para uma festa, alguns amigos decidem fazer suco de concentrado de frutas. As instruções da embalagem dizem que um copo de concentrado dá 15 copos de suco. Quanto concentrado é necessário para fazer 110 copos de suco?

Solução

Seja y o número de copos de suco ex o número de copos de concentrado. Eles são relacionados por:

y = kx

Substituindo os valores y = 15 e x = 1, a constante k resolve:

k = y / x = 15/1 = 15

Portanto:

110 = 15 x

x = 110/15 = 7,33 copos de concentrado de frutas.

Referências

Baldor, A. 1974. Algebra. Cultural Venezolana S.A.
Giancoli, D. 2006. Física: Princípios com Aplicações. 6º. Ed Prentice Hall.
Tutores do time do colégio. Relações de proporcionalidade. Recuperado de: varsitytutors.com
Wikipedia. Proporcionalidade Recuperado de: es.wikipedia.org.
Zill, D. 1984. Algebra and Trigonometry. McGraw Hill.