Expectativa matemática: fórmula, propriedades, exemplos, exercício - Ciência - 2023

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o esperança matemática ou valor esperado do variável aleatória X, é denotado por E (X) e é definido como a soma do produto entre a probabilidade de ocorrência de um evento aleatório e o valor do referido evento.

Na forma matemática, é expresso da seguinte forma:

μ = E (X) = ∑ x_Eu. P (x_Eu) = x₁.P (x₁) + x₂.P (x₂) + x₃.P (x₃) +…

Onde x_Eué o valor do evento e P (x_Eu) sua probabilidade de ocorrência. O somatório se estende por todos os valores que X admite. E se forem finitos, a soma indicada converge para o valor E (X), mas se a soma não convergir, então a variável simplesmente não tem valor esperado.

Quando se trata de uma variável contínua x, a variável pode ter valores infinitos e as integrais substituem as somas:

Aqui f (x) representa o função densidade de probabilidade.

Em geral, a expectativa matemática (que é uma média ponderada) não é igual à média aritmética ou média, a menos que estejamos lidando com distribuições discretas em que cada evento é igualmente provável. Então, e só então:

μ = E (X) = (1 / n) ∑ x_Eu

Onde n é o número de valores possíveis.

O conceito é muito útil em mercados financeiros e seguradoras, onde muitas vezes faltam certezas, mas sim probabilidades.

Propriedades da expectativa matemática

Entre as propriedades mais importantes da expectativa matemática, destacam-se as seguintes:

- Placa: se X for positivo, então E (X) também será positivo.

- Valor esperado de uma constante: o valor esperado de uma constante real k é a constante.

E (k) = k

- Linearidade na soma: a expectativa de uma variável aleatória que por sua vez é a soma de duas variáveis X e Y é a soma das expectativas.

E (X + Y) = E (X) + E (Y)

- Multiplicação por uma constante: se a variável aleatória é da forma kX, Onde k é uma constante (um número real), sai fora do valor esperado.

E (kX) = k E (X)

- Valor esperado do produto e independência entre as variáveis: se uma variável aleatória é o produto das variáveis aleatórias X e Y, que são independentes, então o valor esperado do produto é o produto dos valores esperados.

E (X.Y) = E (X) .E (Y)

- Variável aleatória do formulário Y = aX + b: encontrado aplicando as propriedades anteriores.

E (aX + b) = aE (X) + E (b) = aE (X) + b

Em geral sim Y = g (X):

E (Y) = E [g (X)] = ∑ g (x_Eu) P [g (x_Eu)]

- Pedido no valor esperado: se X ≤ Y, então:

E (X) ≤ E (Y)

Visto que existem os valores esperados de cada um deles.

A expectativa matemática nas apostas

Quando o famoso astrônomo Christian Huygens (1629-1695) não estava observando os céus, ele se dedicou a estudar, entre outras disciplinas, a probabilidade nos jogos de azar. Foi ele quem introduziu o conceito de esperança matemática em sua obra de 1656 intitulada:Raciocinando sobre jogos de azar.

Huygens descobriu que as apostas podem ser classificadas de três maneiras, com base no valor esperado:

-Jogos com vantagem: E (X)> 0

- Apostas justas: E (X) = 0

-Jogo em desvantagem: E (X) <0

O problema é que, em um jogo de azar, a expectativa matemática nem sempre é fácil de calcular. E quando você pode, o resultado às vezes é decepcionante para quem se pergunta se deve ou não apostar.

Vamos tentar uma aposta simples: cara ou coroa e o perdedor paga um café de $ 1. Qual é o valor esperado desta aposta?

Bem, a probabilidade de uma cara ser lançada é ½, a mesma que uma coroa. A variável aleatória é ganhar $ 1 ou perder $ 1, o ganho é denotado pelo sinal + e a perda pelo sinal -.

Organizamos as informações em uma tabela:

Multiplicamos os valores das colunas: 1. ½ = ½ e (-1). ½ = -½ e finalmente os resultados são adicionados. A soma é 0 e é um jogo justo, em que se espera que os participantes não ganhem nem percam.

A roleta e a loteria francesas são jogos com desvantagens em que a maioria dos apostadores perde. Mais tarde, há uma aposta um pouco mais complexa na seção de exercícios resolvidos.

Exemplos

Aqui estão alguns exemplos simples onde o conceito de expectativa matemática é intuitivo e esclarece o conceito:

Exemplo 1

Começaremos lançando um dado honesto. Qual é o valor esperado do lançamento? Bem, se o dado for honesto e tiver 6 caras, a probabilidade de qualquer valor (X = 1, 2, 3 ... 6) rolar é 1/6, assim:

E (X) = 1. (1/6) + 2. (1/6) + 3. (1/6) + 4. (1/6) + 5. (1/6) + 6. (1 / 6) = 21/6 = 3,5

O valor esperado neste caso é igual à média, pois cada face tem a mesma probabilidade de sair. Mas E (X) não é um valor possível, pois nenhuma cara vale 3,5. Isso é perfeitamente possível em algumas distribuições, embora neste caso o resultado não ajude muito o apostador.

Vejamos outro exemplo com o lançamento de duas moedas.

Exemplo 2

Duas moedas honestas são atiradas ao ar e definimos a variável aleatória X como o número de caras obtidas. Os eventos que podem ocorrer são os seguintes:

-Nenhuma cara surge: 0 cara que é igual a 2 coroa.

-Sem 1 cabeça e 1 carimbo ou coroa.

-Dois rostos saem.

Seja C um rosto e T um selo, o espaço amostral que descreve esses eventos é o seguinte:

S_m = {Selo-Selo; Seal-Face; Face-Seal; Face-Face} = {TT, TC, CT, CC}

As probabilidades de os eventos acontecerem são:

P (X = 0) = P (T). P (T) = ½. ½ = ¼

P (X = 1) = P (TC) + P (CT) = P (T). P (C) + P (C). P (T) = ¼ + ¼ = ½

P (X = 2) = P (C). P (C) = ½. ½ = ¼

A tabela é construída com os valores obtidos:

De acordo com a definição dada no início, a expectativa matemática é calculada como:

μ = E (X) = ∑ x_Eu. P (x_Eu) = x₁.P (x₁) + x₂.P (x₂) + x₃.P (x₃) +…

Substituindo valores:

E (X) = 0. ¼ + 1. ½ + 2. ¼ = ½ + ½ = 1

Esse resultado é interpretado da seguinte maneira: se uma pessoa tem tempo suficiente para fazer um grande número de experimentos jogando as duas moedas, espera-se que ela receba uma cabeça em cada lance.

No entanto, sabemos que lançamentos com 2 rótulos são perfeitamente possíveis.

Exercício resolvido

No lance de duas moedas honestas, a seguinte aposta é feita: se 2 caras saírem, você ganha $ 3, se 1 cara sair, você ganha $ 1, mas se saírem dois selos, você tem que pagar $ 5. Calcule o ganho esperado da aposta.

Solução

A variável aleatória X são os valores que o dinheiro tira na aposta e as probabilidades foram calculadas no exemplo anterior, pois a mesa da aposta é:

E (X) = 3. ¼ + 1. ½ + (-5). ¼ = 0

Como o valor esperado é 0, é um jogo justo, então aqui se espera que o apostador não ganhe e nem perca. No entanto, os montantes da aposta podem ser alterados para tornar a aposta um jogo com handicap ou um jogo com handicap.

Referências

Brase, C. 2009. Estatísticas compreensíveis. Houghton Mifflin.
Olmedo, F. Introdução ao conceito de valor esperado ou expectativa matemática de uma variável aleatória. Recuperado de: personal.us.es.
Estatísticas LibreTexts. Valor esperado de variáveis aleatórias discretas. Recuperado de: stats.libretexts.org.
Triola, M. 2010. Elementary Statistics. 11º. Ed. Addison Wesley.
Walpole, R. 2007. Probabilidade e Estatística para Ciência e Engenharia. 8º. Edição. Pearson Education.