Números perfeitos: como identificá-los e exemplos - Ciência - 2023

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UMA número perfeito é um número natural tal que a soma de seus divisores é igual ao número. Obviamente, o próprio número não pode ser incluído entre os divisores.

Um dos exemplos mais simples de um número perfeito é 6, já que seus divisores são: 1, 2 e 3. Se somarmos os divisores, obtemos: 1 + 2 + 3 = 6.

A soma dos divisores de um inteiro, sem incluir o próprio número, é chamada alíquota. Portanto, um número perfeito é igual à sua alíquota.

Mas se o próprio número for incluído na soma dos divisores de um número, então um número perfeito será aquele em que a soma de todos os seus divisores divididos por 2 seja igual ao próprio número.

História

Os matemáticos da antiguidade, particularmente os gregos, davam grande importância aos números perfeitos e atribuíam qualidades divinas a eles.

Por exemplo, Filo de Alexandria, por volta do século I, afirmou que 6 e 28 são números perfeitos que coincidem com os seis dias da criação do mundo e os vinte e oito dias que a Lua leva para dar a volta à Terra.

Números perfeitos também estão presentes na natureza, por exemplo, no pólo norte de Saturno também aparece o número perfeito 6, um vórtice em forma de hexágono encontrado pela sonda Cassini e que intrigou os cientistas.

Os favos de mel das abelhas possuem células em formato hexagonal, ou seja, com 6 lados. Foi demonstrado que o polígono com o número perfeito 6 é o que permite maximizar o número de células na colméia, com o mínimo de cera para sua elaboração.

Propriedades de números perfeitos

A soma de todos os divisores de um número natural n é denotada por σ (n). Em um número perfeito, fica satisfeito que: σ (n) = 2n.

Fórmula e critérios de Euclides

Euclides descobriu uma fórmula e um critério que permite encontrar os números perfeitos. Esta fórmula é:

2^(n-1) (2ⁿ-1)

Porém, o número gerado pela fórmula será perfeito somente quando o fator (2ⁿ -1) é primo.

Vamos ver como os primeiros números perfeitos são gerados:

Se n = 2, então temos 2 restantes¹ (2² - 1) = 2 x 3 = 6 que já vimos é perfeito.

Quando n = 3, temos 2² (2³ - 1) = 4 x 7 = 28 que também é perfeito conforme verificado em detalhes no exemplo 1.

Vamos ver o que acontece com n = 4. Ao substituir na fórmula de Euclides, temos:

2³ (2⁴ - 1) = 8 x 15 = 120

Pode-se verificar que esse número não é perfeito, conforme detalhado no Exemplo 3. Isso não contradiz o critério de Euclides, uma vez que 15 não é primo, requisito necessário para que o resultado seja um número perfeito.

Agora vamos ver o que acontece quando n = 5. Aplicando a fórmula que temos:

2⁴ (2⁵ - 1) = 16 x 31 = 496

Como 31 é um número primo, o número 496 deve ser perfeito, de acordo com os critérios de Euclides. No exemplo 4, é mostrado em detalhes que realmente é.

Números primos que têm a forma 2^p - 1 são chamados de primos Mersenne, em homenagem ao monge Marin Mersenne, que estudou números primos e números perfeitos no século XVII.

Mais tarde, no século 18, Leonhard Euler mostrou que todos os números perfeitos gerados pela fórmula de Euclides são pares.

Até o momento, nenhum perfeito foi encontrado que seja estranho.

O maior número perfeito conhecido

Até o momento, são conhecidos 51 números perfeitos, todos gerados a partir da fórmula e dos critérios de Euclides. Este número foi obtido quando o maior primo de Mersenne foi encontrado, que é: (2^82589933 – 1).

O número perfeito # 51 é (2^82589933) x (2^82589933 - 1) e tem 49724095 dígitos.

Um número perfeito é amigo de si mesmo

Na teoria dos números, dois números são chamados de amigos quando a soma dos divisores de um, sem incluir o próprio número, é igual ao outro número e vice-versa.

O leitor pode verificar que a soma dos divisores de 220, não incluindo 220 é 284. Por outro lado, a soma dos divisores de 284, não incluindo 284, é igual a 220. Portanto, o par de números 220 e 284 são amigos.

Deste ponto de vista, um número perfeito é amigo de si mesmo.

Exemplos de números perfeitos

Os primeiros oito números perfeitos estão listados abaixo:

496

8128

33550336

8589869056

137438691328

2305843008139952128

Exercícios

Nos exercícios seguintes, será necessário calcular os divisores de um número, depois somá-los e verificar se o número é perfeito ou não.

Portanto, antes de abordar os exercícios, revisaremos o conceito e mostraremos como eles são calculados.

Para começar, lembre-se de que os números podem ser primos (quando só podem ser divididos em exatos consigo mesmo e 1) ou compostos (quando podem ser decompostos como um produto de números primos).

Para um número composto N, temos:

N = aⁿ . b^m. c^p ... r^k

Onde a, b, c… r são números primos en, m, p… k são expoentes pertencentes aos números naturais, que podem ser de 1 em diante.

Em termos desses expoentes, existe uma fórmula para saber quantos divisores o número N tem, embora não nos diga quais são. Seja C esta quantidade, então:

C = (n +1) (m + 1) (p +1) ... (k + 1)

Decompor o número N como um produto de números primos e saber quantos divisores ele possui, tanto primos quanto não primos, nos ajudará a determinar quais são esses divisores.

Depois de ter todos eles, exceto o último que não é obrigatório na soma, você pode verificar se é um número perfeito ou não.

- Exercício 1

Verifique se o número 28 é perfeito.

Solução

A primeira coisa a fazer é decompor o número em seus fatores primos.

28|2
14|2
07|7
01|1

Seus divisores são: 1, 2, 4, 7, 14 e 28. Se excluirmos 28, a soma dos divisores dá:

1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 3 + 4 + 7 + 14 = 7 + 7 + 14 = 14 + 14 = 28

Portanto, 28 é um número perfeito.

Além disso, a soma de todos os seus divisores é 28 + 28, portanto a regra σ (28) = 2 x 28 é cumprida.

- Exercício 2

Decida se o número 38 é perfeito ou não.

Solução

O número é decomposto em seus fatores principais:

39|3
13|13
01|1

Os divisores de 39 sem incluir o próprio número são: 1, 3 e 13. A soma 1 + 3 + 13 = 4 + 13 = 17 não é igual a 39, portanto 39 é um número imperfeito ou não perfeito.

- Exercício 3

Descubra se o número 120 é perfeito ou imperfeito.

Solução

O número é decomposto em seus fatores principais:

120|2
060|2
30|2
15|3
5|5
1|1

A partir dos fatores principais, procedemos para encontrar os divisores:

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60 e 120}

Se 120 fosse perfeito, somando todos os seus divisores, obteria 2 x 120 = 240.

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 8 + 10 + 12 + 15 + 20 + 24 + 30 + 40 + 60 + 120 = 360

Este resultado é claramente diferente de 240, portanto, conclui-se que o número 120 não é um número perfeito.

- Exercício 4

Verifique se o número 496, obtido pelo critério de Euclides, é um número perfeito.

Solução

O número 496 é decomposto em seus fatores principais:

496|2
248|2
124|2
062|2
031|31
001|1

Portanto, seus divisores são:

{1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248, 496}

Agora todos eles são adicionados, exceto 496:

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496

Confirmando que é realmente um número perfeito.

Referências

Baldor, A. 1986. Arithmetic. Codex de edições e distribuições.
Tudo sobre números primos. Números amigáveis. Recuperado de: Númeroprimos.org.
Wolfram MathWorld. Regra de Euler. Recuperado de: mathworld.wolfram.com.
Wolfram MathWorld. Número perfeito. Recuperado de: mathworld.wolfram.com.
Wikipedia. Números perfeitos. Recuperado de: en.wikipedia.org.
Wikipedia. Números amigáveis. Recuperado de: es.wikipedia.org.