Ondas unidimensionais: expressão matemática e exemplos - Ciência - 2023

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As ondas unidimensionais Eles são aqueles que se propagam em uma única direção independentemente de a vibração ocorrer na mesma direção de propagação ou não. Um bom exemplo disso é a onda que percorre uma corda esticada como a de um violão.

Em uma onda planaCruz, as partículas vibram na direção vertical (elas vão para cima e para baixo, veja a seta vermelha na figura 1), mas é unidimensional porque a perturbação viaja em apenas uma direção, seguindo a seta amarela.

As ondas unidimensionais aparecem com bastante frequência na vida cotidiana. Na seção seguinte são descritos alguns exemplos delas e também de ondas que não são unidimensionais, para estabelecer claramente as diferenças.

Exemplos de ondas unidimensionais e não unidimensionais

Ondas unidimensionais

Aqui estão alguns exemplos de ondas unidimensionais que podem ser facilmente observadas:

- Um pulso sonoro que percorre uma barra reta, pois é um distúrbio que se propaga ao longo de todo o comprimento da barra.

- Uma onda que viaja por um canal de água, mesmo quando o deslocamento da superfície da água não é paralelo ao canal.

- Ondas que se propagam em uma superfície ou através do espaço tridimensional também podem ser unidimensionais, desde que suas frentes de onda sejam planos paralelos entre si e viajem em apenas uma direção.

Ondas não unidimensionais

Um exemplo de onda não unidimensional é encontrado em ondas que se formam em uma superfície de água parada quando uma pedra cai. É uma onda bidimensional com uma frente de onda cilíndrica.

Outro exemplo de onda não unidimensional é a onda sonora gerada por um foguete explodindo a uma certa altura. Esta é uma onda tridimensional com frentes de onda esféricas.

Expressão matemática de uma onda unidimensional

A forma mais geral de expressar uma onda unidimensional que se propaga sem atenuação na direção positiva do eixo x e com velocidade v é, matematicamente:

y (x, t) = f (x - v.t)

Nesta expressão Y representa a perturbação na posição x no momento t. A forma da onda é dada pela função F. Por exemplo, a função de onda mostrada na figura 1 é: y (x, t) = cos (x - v t) e a imagem da onda corresponde ao instante t = 0.

Uma onda como esta, descrita por uma função cosseno ou seno, é chamada onda harmônica. Embora não seja a única forma de onda existente, ela é de extrema importância, pois qualquer outra onda pode ser representada como uma superposição ou soma de ondas harmônicas. É sobre o conhecido Teorema de Fourier, tão usado para descrever sinais de todos os tipos.

Quando a onda viaja na direção negativa do eixo x, ela simplesmente muda v por -v no argumento, deixando:

y (x, t) = g (x + v t)

A Figura 3 mostra a animação de uma onda viajando para a esquerda: é uma forma chamada de funçãoLorentziana e ela expressão matemática é:

y (x, t) = 1 / (1 + (x + 1⋅t)²

Neste exemplo, a velocidade de propagação é v = 1, -uma unidade de espaço para cada unidade de tempo-.

Equação de onda unidimensional

A equação da onda é uma equação derivada parcial, cuja solução é, obviamente, uma onda. Ele estabelece a relação matemática entre a parte espacial e a parte temporal dela, e tem a forma:

Exemplo trabalhado

A seguir está a expressão geral y (x, t) para uma onda harmônica:

y (x, t) = A⋅cos (k⋅x ± ω⋅t + θo)

a) Descreva o significado físico dos parâmetros A, k, ω Y θo.

b) Qual o significado dos sinais ± no argumento do cosseno?

c) Verifique se a expressão dada é de fato a solução da equação de onda da seção anterior e encontre a velocidade v de propagação.

Solução para)

As características da onda são encontradas nos seguintes parâmetros:

-PARA representa o amplitude ou "altura da onda".

-k está em número de onda e está relacionado ao comprimento de onda λ através k = 2π / λ.

-ω é o ffrequência angular e está relacionado ao períodoT oscilação de onda por

ω = 2π / T.

-θo é o fase inicial, que está relacionado ao ponto de partida da onda.

Solução b)

Um sinal negativo é assumido se a onda viaja na direção positiva do eixo X e um sinal positivo caso contrário.

Solução c)

Verifique se a expressão dada é uma solução da equação de onda é simples: a derivada parcial da função é tomada y (x, t) com relação ax duas vezes, derivada parcialmente em relação a t duas vezes e, em seguida, combine os dois resultados para obter uma igualdade:

Segunda derivada em relação ax: ∂²y / ∂x²= -k². PARA⋅cos (k⋅x ± ω⋅t + θo)

Segunda derivada em relação a t: ∂²y / ∂t²= -ω². PARA⋅cos (k⋅x ± ω⋅t + θo)

Esses resultados são substituídos na equação de onda:

-k². PARA⋅cos (k⋅x ± ω⋅t + θo) = (1 / v²) (-ω². PARA⋅cos (k⋅x ± ω⋅t + θo))

Muito PARA como os cossenos são simplificados, já que aparecem em ambos os lados da igualdade e o argumento do cosseno é o mesmo, portanto a expressão se reduz a:

-k² = (1 / v²) (-ω²)

O que permite obter uma equação para v em termos de ω Y k:

v² = ω²/ k²

v = ± ω / k

Referências

E-educacional. Equação de ondas harmônicas unidimensionais. Recuperado de: e-ducativa.catedu.es
O canto da Física. Aulas de ondas. Recuperado de: fisicaparatontos.blogspot.com.
Figueroa, D. 2006. Waves and Quantum Physics. Série: Física para Ciência e Engenharia. Editado por Douglas Figueroa. Universidade Simon Bolivar. Caracas Venezuela.
Laboratório de Física. Movimento ondulatório. Recuperado de: fisicalab.com.
Peirce, A. Aula 21: A Equação de Onda unidimensional: Solução de D’Alembert. Recuperado de: ubc.ca.
Equação de onda. Recuperado de: en.wikipedia.com