Distribuição normal: fórmula, características, exemplo, exercício - Ciência - 2023

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odistribuição normal ou distribuição gaussiana é a distribuição de probabilidade em uma variável contínua, na qual a função densidade de probabilidade é descrita por uma função exponencial com um argumento quadrático e negativo, que dá origem a uma forma de sino.

O nome de distribuição normal vem do fato de que essa distribuição é a que se aplica ao maior número de situações em que alguma variável aleatória contínua está envolvida em um determinado grupo ou população.

Exemplos de aplicação da distribuição normal são: altura de homens ou mulheres, variações na medida de alguma magnitude física ou em traços psicológicos ou sociológicos mensuráveis como o quociente intelectual ou os hábitos de consumo de um determinado produto.

Por outro lado, é chamado de distribuição gaussiana ou sino gaussiano, porque é esse gênio matemático alemão que é creditado com sua descoberta pelo uso que ele deu para a descrição do erro estatístico de medições astronômicas no ano 1800.

No entanto, afirma-se que esta distribuição estatística foi publicada anteriormente por outro grande matemático de origem francesa, como Abraham de Moivre, no ano de 1733.

Fórmula

Para a função de distribuição normal na variável contínua x, com parâmetros μ Y σ é denotado por:

N (x; μ, σ)

e é explicitamente escrito assim:

N (x; μ, σ) = ∫_-∞^x f (s; μ, σ) ds

Onde f (u; μ, σ) é a função de densidade de probabilidade:

f (s; μ, σ) = (1 / (σ√ (2π)) Exp (- s²/(2σ²) )

A constante que multiplica a função exponencial na função de densidade de probabilidade é chamada de constante de normalização e foi escolhida de forma que:

N (+ ∞, μ, σ) = 1

A expressão anterior garante que a probabilidade de que a variável aleatória x está entre -∞ e + ∞ é 1, ou seja, 100% de probabilidade.

Parâmetro μ é a média aritmética da variável aleatória contínua x y σ o desvio padrão ou raiz quadrada da variância dessa mesma variável. No evento que μ = 0 Y σ = 1 temos então a distribuição normal padrão ou distribuição normal típica:

N (x; μ = 0, σ = 1)

Características da distribuição normal

1- Se uma variável estatística aleatória segue uma distribuição de densidade de probabilidade normal f (s; μ, σ), a maioria dos dados é agrupada em torno do valor médio μ e estão espalhados em torno dele de forma que pouco mais de ⅔ dos dados estão entre μ – σ Y μ + σ.

2- O desvio padrão σ é sempre positivo.

3- A forma da função densidade F assemelha-se a um sino, razão pela qual essa função é freqüentemente chamada de sino gaussiano ou função gaussiana.

4- Numa distribuição gaussiana a média, a mediana e a moda coincidem.

5- Os pontos de inflexão da função de densidade de probabilidade estão localizados precisamente em μ – σ Y μ + σ.

6- A função f é simétrica em relação a um eixo que passa por seu valor médio μ y tem assintoticamente zero para x ⟶ + ∞ e x ⟶ -∞.

7- Um valor mais alto de σ maior dispersão, ruído ou distância dos dados em torno do valor médio. Ou seja, um maior σ o formato do sino é mais aberto. Em vez de σ pequeno indica que os dados estão estreitos no meio e a forma do sino é mais fechada ou pontiaguda.

8- A função de distribuição N (x; μ, σ) indica a probabilidade de que a variável aleatória seja menor ou igual a x. Por exemplo, na Figura 1 (acima) a probabilidade P de que a variável x é menor ou igual a 1,5 é 84% e corresponde à área sob a função de densidade de probabilidade f (x; μ, σ) de -∞ a x.

Intervalos de confiança

9- Se os dados seguem uma distribuição normal, então 68,26% destes estão entre μ – σ Y μ + σ.

10-95,44% dos dados que seguem uma distribuição normal estão entre μ – 2σ Y μ + 2σ.

11- 99,74% dos dados que seguem uma distribuição normal estão entre μ – 3σ Y μ + 3σ.

12- Se for uma variável aleatória x siga uma distribuição N (x; μ, σ), então a variável

z = (x - μ) / σ segue a distribuição normal padrão N (z, 0,1).

A mudança da variável x a z Chama-se padronização ou tipagem e é muito útil ao aplicar as tabelas da distribuição padrão aos dados que seguem uma distribuição normal não padrão.

Aplicações da distribuição normal

Para aplicar a distribuição normal é necessário passar pelo cálculo da integral da densidade de probabilidade, o que do ponto de vista analítico não é fácil e nem sempre existe um programa de computador que permita o seu cálculo numérico. Para tanto, são utilizadas as tabelas de valores normalizados ou tipificados, que nada mais são do que a distribuição normal no caso μ = 0 e σ = 1.

Deve-se observar que essas tabelas não incluem valores negativos. No entanto, usando as propriedades de simetria da função de densidade de probabilidade gaussiana, os valores correspondentes podem ser obtidos. No exercício resolvido mostrado a seguir, está indicada a utilização da tabela nestes casos.

Exemplo

Suponha que você tenha um conjunto de dados aleatórios x que segue uma distribuição normal de média 10 e desvio padrão 2. Você deve encontrar a probabilidade de:

a) A variável aleatória x é menor ou igual a 8.

b) É menor ou igual a 10.

c) Que a variável x está abaixo de 12.

d) A probabilidade de que um valor x esteja entre 8 e 12.

Solução:

a) Para responder à primeira pergunta, basta calcular:

N (x; μ, σ)

Com x = 8, μ = 10 Y σ = 2. Percebemos que é uma integral que não possui solução analítica em funções elementares, mas a solução se expressa em função da função erro erf (x).

Por outro lado, existe a possibilidade de resolver a integral na forma numérica, que é o que muitas calculadoras, planilhas e programas de computador como o GeoGebra fazem. A figura a seguir mostra a solução numérica correspondente ao primeiro caso:

e a resposta é que a probabilidade de x estar abaixo de 8 é:

P (x ≤ 8) = N (x = 8; μ = 10, σ = 2) = 0,1587

b) Neste caso, trata-se de encontrar a probabilidade de a variável aleatória x estar abaixo da média, que neste caso vale 10. A resposta não requer cálculo, pois sabemos que metade dos dados estão abaixo média e a outra metade acima da média. Portanto, a resposta é:

P (x ≤ 10) = N (x = 10; μ = 10, σ = 2) = 0,5

c) Para responder a esta pergunta, você deve calcular N (x = 12; μ = 10, σ = 2), que pode ser feito com uma calculadora com funções estatísticas ou por meio de um software como o GeoGebra:

A resposta à parte c pode ser vista na figura 3 e é:

P (x ≤ 12) = N (x = 12; μ = 10, σ = 2) = 0,8413.

d) Para encontrar a probabilidade de que a variável aleatória x esteja entre 8 e 12, podemos usar os resultados das partes a e c da seguinte forma:

P (8 ≤ x ≤ 12) = P (x ≤ 12) - P (x ≤ 8) = 0,8413 - 0,1587 = 0,6826 = 68,26%.

Exercício resolvido

O preço médio das ações de uma empresa é de $ 25, com um desvio padrão de $ 4. Determine a probabilidade de:

a) Uma ação tem um custo inferior a $ 20.

b) Isso tem um custo superior a $ 30.

c) O preço está entre $ 20 e $ 30.

Use as tabelas de distribuição normal padrão para encontrar as respostas.

Solução:

Para poder utilizar as tabelas, é necessário passar para a variável z normalizada ou digitada:

$ 20 na variável normalizada é igual a z = ($20 – $25) / $ 4 = -5/4 = -1,25 e

$ 30 na variável normalizada é igual a z = ($30 – $25) / $4 = +5/4 = +1,25.

a) $ 20 é igual a -1,25 na variável normalizada, mas a tabela não tem valores negativos, então colocamos o valor +1,25 que resulta no valor de 0,8944.

Se 0,5 for subtraído desse valor, o resultado será a área entre 0 e 1,25 que, aliás, é idêntica (por simetria) à área entre -1,25 e 0. O resultado da subtração é 0,8944 - 0,5 = 0,3944 que é a área entre -1,25 e 0.

Mas a área de -∞ a -1,25 é de interesse, que será 0,5 - 0,3944 = 0,1056. Conclui-se, portanto, que a probabilidade de uma ação estar abaixo de $ 20 é de 10,56%.

b) $ 30 na variável digitada z é 1,25. Para este valor, a tabela mostra o número 0,8944, que corresponde à área de -∞ a +1,25. A área entre +1,25 e + ∞ é (1 - 0,8944) = 0,1056. Em outras palavras, a probabilidade de que uma ação custe mais de $ 30 é de 10,56%.

c) A probabilidade de uma ação ter um custo entre $ 20 e $ 30 será calculada da seguinte forma:

100% -10,56% – 10,56% = 78,88%

Referências

Estatística e probabilidade. Distribuição normal. Recuperado de: projectdescartes.org
Geogebra. Geogebra clássica, cálculo de probabilidade. Recuperado de geogebra.org
MathWorks. Distribuição gaussiana. Recuperado de: es.mathworks.com
Mendenhall, W. 1981. Statistics for Management and Economics. 3º edição. Grupo Editorial Iberoamérica.
Stat Trek. Aprenda a Estatística. Distribuição de veneno. Recuperado de: stattrek.com,
Triola, M. 2012. Elementary Statistics. 11º. Ed. Pearson Education.
Universidade de Vigo. Principais distribuições contínuas. Recuperado de: anapg.webs.uvigo.es
Wikipedia. Distribuição normal. Recuperado de: es.wikipedia.org