Velocidade areolar: como é calculada e os exercícios resolvidos - Ciência - 2023

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Velocidade areolar: como é calculada e os exercícios resolvidos - Ciência
Velocidade areolar: como é calculada e os exercícios resolvidos - Ciência

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o velocidade areolar é a área varrida por unidade de tempo e é constante. É específico para cada planeta e surge da descrição da segunda lei de Kepler em forma matemática. Neste artigo iremos explicar o que é e como é calculado.

O boom que representa a descoberta de planetas fora do sistema solar reativou o interesse no movimento planetário. Nada nos faz acreditar que esses exoplanetas sigam outras leis além das já conhecidas e válidas no sistema solar: as leis de Kepler.

Johannes Kepler foi o astrônomo que, sem a ajuda do telescópio e usando as observações de seu mentor Tycho Brahe, criou um modelo matemático que descreve o movimento dos planetas ao redor do Sol.

Deixou esse modelo consubstanciado nas três leis que levam seu nome e que ainda hoje valem tanto quanto em 1609, quando instituiu as duas primeiras e em 1618, data em que enunciou a terceira.

Leis de Kepler

Na linguagem de hoje, as três leis de Kepler são assim:


1. As órbitas de todos os planetas são elípticas e o Sol está em um foco.

2. O vetor de posição do Sol para um planeta abrange áreas iguais em tempos iguais.

3. O quadrado do período orbital de um planeta é proporcional ao cubo do semieixo maior da elipse descrita.

Um planeta terá uma velocidade linear, assim como qualquer objeto em movimento conhecido. E mais: ao escrever a segunda lei de Kepler de forma matemática, surge um novo conceito denominado velocidade areolar, típica de cada planeta.

Por que os planetas se movem elipticamente em torno do Sol?

A Terra e os outros planetas giram em torno do Sol graças ao fato de ele exercer uma força sobre eles: a atração gravitacional. O mesmo acontece com qualquer outra estrela e os planetas que compõem seu sistema, se os houver.

Esta é uma força do tipo conhecido como força central. O peso é uma força central com a qual todos estão familiarizados. O objeto que exerce a força central, seja o Sol ou uma estrela distante, atrai os planetas em direção ao seu centro e eles se movem em uma curva fechada.


Em princípio, essa curva pode ser aproximada como uma circunferência, como fez Nicolás Copernicus, um astrônomo polonês que criou a teoria heliocêntrica.

A força responsável é a atração gravitacional. Essa força depende diretamente das massas da estrela e do planeta em questão e é inversamente proporcional ao quadrado da distância que os separa.

O problema não é tão fácil, pois em um sistema solar, todos os elementos interagem dessa forma, agregando complexidade ao assunto. Além disso, eles não são partículas, uma vez que estrelas e planetas têm tamanhos mensuráveis.

Por esse motivo, o ponto central da órbita ou circuito percorrido pelos planetas não está exatamente centrado na estrela, mas em um ponto conhecido como centro de gravidade do sistema planeta sol.

A órbita resultante é elíptica. A imagem a seguir mostra isso, tomando a Terra e o Sol como exemplo:

O afélio é a posição mais distante do Sol na Terra, enquanto o periélio é o ponto mais próximo. A elipse pode ser mais ou menos achatada, dependendo das características do sistema planeta-estrela.


Os valores do afélio e do periélio variam anualmente, pois os outros planetas causam distúrbios. Para outros planetas, essas posições são chamadas de apoaster e periaster, respectivamente.

A magnitude da velocidade linear de um planeta não é constante

Kepler descobriu que, quando um planeta orbita o Sol, durante seu movimento ele varre áreas iguais em tempos iguais. A Figura 2 mostra graficamente o significado disso:

Matematicamente, o fato de que A1 ser igual a A2 é expresso assim:

Os arcos Δs percorridos são pequenos, de modo que cada área pode se aproximar da de um triângulo:

Uma vez que Δs =vΔt, onde v é a velocidade linear do planeta em um determinado ponto, ao substituir temos:

E como o intervalo de tempo Δt é o mesmo, obtemos:

Como r2 > r1, então v1 > v2Em outras palavras, a velocidade linear de um planeta não é constante. Na verdade, a Terra se move mais rápido quando está no periélio do que quando está no afélio.

Portanto a velocidade linear da Terra ou de qualquer planeta ao redor do Sol não é uma magnitude que sirva para caracterizar o movimento desse planeta.

Velocidade areolar

A segunda lei de Kepler sugere uma nova magnitude chamada velocidade areolar. É definida como a área varrida por unidade de tempo e é constante. Para calculá-lo, a seguinte figura é usada:

Uma pequena área varrida pela Terra é escolhida ao fazer seu circuito elíptico, que denotaremos como ΔA. O tempo necessário para isso é Δt.

A Figura 3 mostra o vetor posição da Terra em relação ao Sol, denotado por r. Quando a Terra se move, ela experimenta um deslocamento Δr.

Esta área corresponde a metade da área do retângulo mostrado na figura 3:

A razão Δr / Δt é precisamente a velocidade linear da Terra, então a velocidade areolar permanece como:

As unidades de vPARAno Sistema Internacional são:

Observe que embora r e v variem, o produto permanece constante. Isso torna a velocidade areolar uma magnitude muito adequada para caracterizar o movimento de um planeta em torno de sua estrela.

O produto de r e v é a magnitude do momento angular L, de modo que a velocidade areolar pode ser expressa como:

Calculando a velocidade linear e velocidade areolar

Com o exemplo a seguir, mostraremos como calcular a velocidade areolar quando alguns parâmetros do movimento planetário são conhecidos:

Exercício

Um exoplaneta se move ao redor de seu Sol seguindo uma órbita elíptica, de acordo com as leis de Kepler. Quando está no periastro, seu vetor de raio é r1 = 4·107 km, e quando está em apoastro é r2 = 15·107 km. A velocidade linear em seu periastro é v1 = 1000 km / s.

Calcular:

A) A magnitude da velocidade no apoastro.

B) A velocidade areolar do exo-planeta.

C) O comprimento do semieixo maior da elipse.

Responda para)

A equação é usada:

em que os valores numéricos são substituídos.

Cada termo é identificado da seguinte forma:

v1 = velocidade em apoastro; v2 = velocidade no periastro; r1= distância do apoastro,

r2= distância do periastro.

Com esses valores você obtém:

Resposta B)

A equação a ser usada é

em que o par de valores rev do periastro ou apoastro pode ser substituído, uma vez que vPARA é uma constante do planeta:

Resposta C)

O comprimento do semi-eixo maior da elipse é o semisum do apoastro e do periastro:

Bibliografia

  1. Serway, R., Jewett, J. (2008). Física para Ciência e Engenharia. Volume 1. México. Editores do Cengage Learning. 367-372.
  2. Stern, D. (2005). As Três Leis do Movimento Planetário de Kepler. Recuperado de pwg.gsfc.nasa.gov
  3. Nota: o exercício proposto foi retirado e modificado a partir do seguinte texto em um livro da McGrawHill. Infelizmente é um capítulo isolado em formato pdf, sem título nem autor: mheducation.es/bcv/guide/capitulo/844817027X.pdf