Probabilidade teórica: como obtê-lo, exemplos, exercícios - Ciência - 2023

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o probabilidade teórica (ou Laplace) que ocorre um evento E que pertence a um espaço amostral S, no qual todos os eventos têm a mesma probabilidade de ocorrência, é definido em notação matemática como: P (E) = n (E) / N ( S)

Onde P (E) é a probabilidade, dada como o quociente entre o número total de resultados possíveis do evento E, que chamamos de n (E), dividido pelo número total N (S) de resultados possíveis no espaço amostral S.

A probabilidade teórica é um número real entre 0 e 1, mas geralmente é expressa como uma porcentagem, caso em que a probabilidade será um valor entre 0% e 100%.

O cálculo da probabilidade de ocorrência de um evento é muito importante em muitos campos, como negociação de ações, seguradoras, jogos de azar e muitos outros.

Como obter a probabilidade teórica?

Um caso ilustrativo são os sorteios ou loterias. Suponha que 1.000 bilhetes sejam emitidos para rifar um smartphone. Como o sorteio é feito de forma aleatória, qualquer um dos ingressos tem chances iguais de ser vencedor.

Para encontrar a probabilidade de que uma pessoa que compra um bilhete com o número 81 seja um vencedor, o seguinte cálculo de probabilidade teórica:

P (1) = 1 / 1.000 = 0,001 = 0,1%

O resultado acima é interpretado da seguinte forma: se o sorteio fosse repetido infinitas vezes, a cada 1.000 vezes o tíquete 81 seria selecionado, em média, uma vez.

Se por algum motivo alguém adquirir todos os bilhetes, é certo que ganhará o prémio. A probabilidade de ganhar o prêmio se você tiver todos os ingressos é calculada da seguinte forma:

P (1.000) = 1.000 / 1.000 = 1 = 100%.

Ou seja, essa probabilidade 1 ou 100% significa que é totalmente certo que esse resultado ocorrerá.

Se alguém possui 500 bilhetes, as chances de ganhar ou perder são as mesmas. A probabilidade teórica de ganhar o prêmio, neste caso, é calculada da seguinte forma:

P (500) = 500 / 1.000 = ½ = 0,5 = 50%.

Quem não compra ingresso não tem chance de ganhar e sua probabilidade teórica é determinada da seguinte forma:

P (0) = 0 / 1.000 = 0 = 0%

Exemplos

Exemplo 1

Você tem uma moeda com caro de um lado e escudo ou carimbo no outro. Quando a moeda é lançada, qual é a probabilidade teórica de que dê cara?

P (caro) = n (caro) / N ( rosto + escudo ) = ½ = 0,5 = 50%

O resultado é interpretado da seguinte forma: se um grande número de lançamentos fosse feito, em média para cada 2 lançamentos um deles sairia cara.

Em termos percentuais, a interpretação do resultado é que fazer um número infinitamente grande de lançamentos, em média 50 de cada 100 deles resultaria em cara.

Exemplo 2

Em uma caixa, há 3 berlindes azuis, 2 berlindes vermelhos e 1 verde. Qual é a probabilidade teórica de que, quando você tira uma bola de gude da caixa, ela fique vermelha?

A probabilidade de sair vermelho é:

P (vermelho) = Número de casos favoráveis / Número de casos possíveis

Quer dizer:

P (vermelho) = Número de berlindes vermelhos / Número total de berlindes

Finalmente, a probabilidade de que uma bola de gude vermelha seja desenhada é:

P (vermelho) = 2/6 = ⅓ = 0,3333 = 33,33%

Embora a probabilidade de que ao desenhar uma bola de gude verde seja:

P (verde) = ⅙ = 0,1666 = 16,66%

Finalmente, a probabilidade teórica de obter uma bola de gude azul em uma extração às cegas é:

P (azul) = 3/6 = ½ = 0,5 = 50%

Ou seja, a cada 2 tentativas o resultado será azul em uma delas e outra cor na outra, sob a premissa de que a bolinha extraída é substituída e que o número de tentativas é muito, muito grande.

Exercícios

Exercício 1

Determine a probabilidade de que o lançamento de um dado produza um valor menor ou igual a 4.

Solução

Para calcular a probabilidade de ocorrência deste evento, será aplicada a definição de probabilidade teórica:

P (≤4) = Número de casos favoráveis / Número de casos possíveis

P (≤5) = 5/6 = = 83,33%

Exercício 2

Encontre a probabilidade de que em dois lançamentos consecutivos de um dado normal de seis lados, 5 serão lançados 2 vezes.

Solução

Para responder a este exercício, é conveniente fazer uma tabela para mostrar todas as possibilidades. O primeiro dígito indica o resultado do primeiro dado e o segundo o resultado do outro.

Para calcular a probabilidade teórica precisamos saber o número total de casos possíveis, neste caso, como pode ser visto na tabela anterior, são 36 possibilidades.

Observando também a tabela, pode-se deduzir que o número de casos favoráveis ao evento que nos dois lançamentos consecutivos sai 5 é apenas 1, destacado com cor, portanto a probabilidade de que esse evento ocorra é:

P (5 x 5) = 1/36.

Esse resultado também poderia ter sido obtido usando uma das propriedades de probabilidade teórica, que afirma que a probabilidade combinada de dois eventos independentes é o produto de suas probabilidades individuais.

Nesse caso, a probabilidade de que o primeiro lançamento dê 5 é ⅙. O segundo lançamento é completamente independente do primeiro, portanto, a probabilidade de que 5 seja lançado no segundo também é ⅙. Portanto, a probabilidade combinada é:

P (5 × 5) = P (5) P (5) = (1/6) (1/6) = 1/36.

Exercício 3

Encontre a probabilidade de que um número menor que 2 seja rolado no primeiro lance e um número maior que 2 seja rolado no segundo.

Solução

Novamente, uma tabela de eventos possíveis deve ser construída, onde aqueles em que o primeiro lance foi menor que 2 e no segundo maior que 2 estão sublinhados.

No total, são 4 possibilidades de um total de 36. Em outras palavras, a probabilidade desse evento é:

P (<2;> 2) = 4/36 = 1/9 = 0,1111 = 11,11%

Usando o teorema da probabilidade que afirma:

A probabilidade de ocorrência de dois eventos independentes é igual ao produto das probabilidades individuais.

O mesmo resultado é obtido:

P (<2) P (> 2) = (1/6) (4/6) = 4/36 = 0,11111 = 11,11%

O valor obtido com este procedimento coincide com o resultado anterior, por meio da definição teórica ou clássica de probabilidade.

Exercício 4

Qual é a probabilidade de que, ao lançar dois dados, a soma dos valores seja 7.

Solução

Para encontrar a solução neste caso, foi elaborada uma tabela de possibilidades na qual os casos que atendem à condição de que a soma dos valores seja 7 sejam indicados em cores.

Olhando para a tabela, 6 casos possíveis podem ser contados, então a probabilidade é:

P (I + II: 7) = 6/36 = 1/6 = 0,1666 = 16,66%

Referências

Canavos, G. 1988. Probabilidade e Estatística: Aplicações e métodos. McGraw Hill.
Devore, J. 2012. Probability and Statistics for Engineering and Science. 8º. Edição. Cengage.
Lipschutz, S. 1991. Schaum Series: Probability. McGraw Hill.
Obregón, I. 1989. Teoria da probabilidade. Editorial Limusa.
Walpole, R. 2007. Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências. Pearson.