Permutações sem repetição: fórmulas, provas, exercícios, exemplos - Ciência - 2023

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UMA permutação sem repetição de n elementos são os diferentes grupos de diferentes elementos que podem ser obtidos não repetindo nenhum elemento, apenas variando a ordem de colocação dos elementos.

Para descobrir o número de permutações sem repetição, a seguinte fórmula é usada:

Pn = n!

Qual expandido seria Pn = n! = n (n - 1) (n - 2)… (2) (1).

Portanto, no exemplo prático anterior, seria aplicado da seguinte forma:

P4 = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 números diferentes de 4 dígitos.

Estes sendo os 24 arrays no total: 2468, 2486, 2648, 2684, 2846, 2864, 4268, 4286, 4628, 4682, 4826, 4862, 6248, 6284, 6428, 6482, 6824, 6842, 8246, 8264, 8426, 8462, 8624, 8642.

Como se pode verificar, não há repetição em nenhum caso, sendo 24 números diferentes.

Demonstração e fórmulas

24 arranjos de 4 figuras diferentes

Vamos analisar mais especificamente o exemplo dos 24 arranjos de 4 dígitos diferentes que podem ser formados com os dígitos do número 2468. O número de arranjos (24) pode ser conhecido como segue:

Você tem 4 opções para selecionar o primeiro dígito, restando 3 opções para selecionar o segundo. Dois dígitos já foram configurados e 2 opções permanecem para selecionar o terceiro dígito. O último dígito possui apenas uma opção de seleção.

Portanto, o número de permutações, denotado por P4, é obtido pelo produto das opções de seleção em cada posição:

P4 = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 números diferentes de 4 dígitos

Em geral, o número de permutações ou arranjos distintos que podem ser realizados com todos os n elementos de um determinado conjunto é:

Pn = n! = n (n - 1) (n - 2) ... (2) (1)

A expressão n! É conhecido como fatorial n e significa o produto de todos os números naturais que estão entre o número n e o número um, incluindo ambos.

12 arranjos de 2 figuras diferentes

Agora, suponha que você queira saber o número de permutações ou números de dois dígitos que podem ser formados com os dígitos do número 2468.

Seriam 12 matrizes no total: 24, 26, 28, 42, 46, 48, 62, 64, 68, 82, 84, 86

Você tem 4 opções para selecionar o primeiro dígito, sobrando 3 dígitos para selecionar o segundo. Portanto, o número de permutações dos 4 dígitos tomados dois a dois, denotados por 4P2, é obtido pelo produto das opções de seleção em cada posição:

4P2 = 4 * 3 = 12 números diferentes de 2 dígitos

Em geral, o número de diferentes permutações ou arranjos que podem ser realizados com r elementos de n no total em um determinado conjunto é:

nPr = n (n - 1) (n - 2) ... [n - (r - 1)]

A expressão acima é truncada antes de reproduzir n!. Para completar n! a partir dele devemos escrever:

n! = n (n - 1) (n - 2) ... [n - (r - 1)] (n - r) ... (2) (1)

Os fatores que adicionamos, por sua vez, representam um fatorial:

(n - r)… (2) (1) = (n - r)!

Portanto,

n! = n (n - 1) (n - 2)… [n - (r - 1)] (n - r)… (2) (1) = n (n - 1) (n - 2)… [n - (r - 1)] (n - r)!

Daqui

n! / (n - r)! = n (n - 1) (n - 2) ... [n - (r - 1)] = nPr

Exemplos

Exemplo 1

Quantas combinações diferentes de 5 letras de letras podem ser feitas com as letras da palavra KEY?

Queremos encontrar o número de combinações diferentes de 5 letras que podem ser construídas com as 5 letras da palavra KEY; ou seja, o número de matrizes de 5 letras envolvendo todas as letras disponíveis na palavra KEY.

N ° de palavras de 5 letras = P5 = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 combinações diferentes de 5 letras.

Seriam: CLAVE, VELAC, LCAEV, VLEAC, ECVLAC ... até 120 combinações de letras diferentes no total.

Exemplo 2

Você tem 15 bolas numeradas e quer saber quantos grupos diferentes de 3 bolas podem ser construídos com as 15 bolas numeradas?

Você deseja encontrar o número de grupos de 3 bolas que podem ser feitos com as 15 bolas numeradas.

N ° de grupos de 3 bolas = 15P3 = 15! / (15 - 3)!

N ° de grupos de 3 bolas = 15 * 14 * 13 = 2730 grupos de 3 bolas

Exercícios resolvidos

Exercício 1

Uma frutaria tem um stand de exposição composto por uma fila de compartimentos localizados no hall de entrada das instalações. Em um dia, o verdureiro adquire para venda: laranja, banana, abacaxi, pêra e maçã.

a) De quantas maneiras diferentes você tem para fazer o pedido do estande?

b) De quantas maneiras diferentes você tem de fazer o pedido do estande se além das frutas mencionadas (5), você recebeu naquele dia: manga, pêssego, morango e uva (4)?

a) Queremos encontrar o número de maneiras diferentes de ordenar todas as frutas na linha de exibição; ou seja, o número de arranjos de 5 itens de frutas que envolvem todas as frutas disponíveis para venda naquele dia.

Nº de arranjos de estande = P5 = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Nº de arranjos de estande = 120 maneiras de apresentar o estande

b) Queremos encontrar o número de maneiras diferentes de ordenar todas as frutas na linha de exibição se 4 itens adicionais forem adicionados; ou seja, o número de arranjos de 9 itens de frutas que envolvem todas as frutas disponíveis para venda naquele dia.

Nº de arranjos de estande = P9 = 9! = 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Nº de arranjos de estande = 362.880 maneiras de apresentar o estande

Exercício 2

Um pequeno posto de alimentação tem um lote de terreno com espaço suficiente para estacionar 6 viaturas.

a) Quantas formas diferentes de ordenação dos veículos podem ser selecionadas no terreno?

b) Suponha que seja adquirido um terreno contíguo cujas dimensões permitam o estacionamento de 10 veículos, quantas maneiras diferentes de ordenar os veículos podem ser selecionadas agora?

a) Queremos encontrar o número de formas diferentes de ordenar os 6 veículos que podem ser alojados no lote.

Nº de arranjos dos 6 veículos = P6 = 6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Número de arranjos dos 6 veículos = 720 formas diferentes de ordenar os 6 veículos no lote.

b) Queremos encontrar o número de formas diferentes de ordenar os 10 veículos que podem ser alojados no lote após a expansão do lote.

N ° de arranjos dos 10 veículos = P10 = 10!

Nº de arranjos de veículos = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Quantidade de arranjos dos 10 veículos = 3.628.800 diferentes formas de ordenação dos 10 veículos no lote.

Exercício 3

Uma florista tem flores de 6 cores diferentes para fazer bandeiras florais de nações que têm apenas 3 cores. Se for sabido que a ordem das cores é importante nas bandeiras,

a) Quantas bandeiras diferentes de 3 cores podem ser feitas com as 6 cores disponíveis?

b) O vendedor compra flores de 2 cores adicionais às 6 que já tinha, agora quantas bandeiras diferentes de 3 cores podem ser feitas?

c) Como você tem 8 cores, você decide expandir sua gama de bandeiras. Quantas bandeiras de 4 cores diferentes você pode fazer?

d) Quantas de 2 cores?

a) Queremos encontrar o número de bandeiras diferentes de 3 cores que podem ser feitas selecionando entre as 6 cores disponíveis.

N ° de sinalizadores de 3 cores = 6P3 = 6! / (6 - 3)!

Nº de sinalizadores de 3 cores = 6 * 5 * 4 = 120 sinalizadores

b) Você deseja encontrar o número de bandeiras diferentes de 3 cores que podem ser feitas selecionando a partir das 8 cores disponíveis.

N ° de sinalizadores de 3 cores = 8P3 = 8! / (8 - 3)!

Nº de sinalizadores de 3 cores = 8 * 7 * 6 = 336 sinalizadores

c) Deve ser calculado o número de bandeiras de 4 cores diferentes que podem ser feitas selecionando a partir das 8 cores disponíveis.

Número de sinalizadores de 4 cores = 8P4 = 8! / (8 - 4)!

Nº de sinalizadores de 4 cores = 8 * 7 * 6 * 5 = 1680 sinalizadores

d) Você deseja determinar o número de bandeiras bicolores diferentes que podem ser feitas selecionando a partir das 8 cores disponíveis.

N ° de sinalizadores de 2 cores = 8P2 = 8! / (8 - 2)!

Nº de sinalizadores de 2 cores = 8 * 7 = 56 sinalizadores

Referências

Boada, A. (2017). Uso de permutação com repetição como ensino de experimentos. Revista Vivat Academia. Recuperado de researchgate.net.
Canavos, G. (1988). Probabilidade e Estatística. Aplicações e métodos. McGraw-Hill / Interamericana de México S. A. de C. V.
Glass, G.; Stanley, J. (1996). Métodos estatísticos não aplicados às ciências sociais. Prentice Hall Hispanoamericana S. A.
Spiegel, M.; Stephens, L. (2008). Estatisticas. Quarta ed. McGraw-Hill / Interamericana de México S. A.
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(2019). Permutação. Recuperado de en.wikipedia.org.