Vetor normal: cálculo e exemplo - Ciência - 2023

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o vetor normal É aquele que define a direção perpendicular a alguma entidade geométrica em consideração, que pode ser uma curva, um plano ou uma superfície, por exemplo.

É um conceito muito útil no posicionamento de uma partícula em movimento ou alguma superfície no espaço. No gráfico a seguir é possível ver como o vetor normal para uma curva arbitrária é C:

Considere um ponto P na curva C. O ponto pode representar uma partícula em movimento que está se movendo ao longo de um caminho em forma de C. A linha tangente à curva no ponto P é desenhada em vermelho.

Observe que o vetor T é tangente a C em cada ponto, enquanto o vetor N é perpendicular a T y aponta para o centro de um círculo imaginário cujo arco é um segmento de C. Os vetores são indicados em negrito no texto impresso, para distingui-los de outras quantidades não vetoriais.


Vetor T indica sempre para onde a partícula está se movendo, portanto indica sua velocidade. Em vez do vetor N sempre aponta na direção em que a partícula está girando, marcando assim a concavidade da curva C.

Como obter o vetor normal para um plano?

O vetor normal não é necessariamente um vetor unitário, ou seja, um vetor cujo módulo é 1, mas se for, é denominado vetor de unidade normal.

Em muitas aplicações, é necessário conhecer o vetor normal para um plano em vez de uma curva. Este vetor revela a orientação do referido plano no espaço. Por exemplo, considere o avião P (amarelo) da figura:

Existem dois vetores normais para este plano: n1 Y n2. A utilização de um ou de outro dependerá do contexto em que se encontra o referido plano. Obter o vetor normal para um plano é muito simples se a equação do plano for conhecida:


ax + by + cz + d = 0, com para, b, c Y d numeros reais.

Bem, um vetor normal para o referido plano é dado por:

 N = a Eu + b j + c k

Aqui o vetor N É expresso em termos de vetores unitários e perpendiculares uns aos outros Eu, j Y k, direcionado ao longo das três direções que determinam o espaço X e Z, veja a figura 2 à direita.

O vetor normal do produto vetorial

Um procedimento muito simples para encontrar o vetor normal faz uso das propriedades do produto vetorial entre dois vetores.

Como se sabe, três pontos diferentes e não colineares entre si, determinam um plano P. Agora, é possível obter dois vetores ou Y v que pertencem ao referido plano tendo esses três pontos.


Depois de ter os vetores, o produto vetorialou x v é uma operação cujo resultado é por sua vez um vetor, que tem a propriedade de ser perpendicular ao plano determinado por ou Y v.

Conhecido este vetor, é denotado como N, e a partir dele será possível determinar a equação do plano graças à equação indicada na seção anterior:

N = ou x v

A figura a seguir ilustra o procedimento descrito:

Exemplo

Encontre a equação do plano determinada pelos pontos A (2,1,3); B (0,1,1); C (4.2.1).

Solução

Este exercício ilustra o procedimento descrito acima. Por possuir 3 pontos, um deles é escolhido como origem comum de dois vetores que pertencem ao plano definido por esses pontos. Por exemplo, o ponto A é definido como a origem e os vetores são construídos AB Y AC.

Vetor AB é o vetor cuja origem é o ponto A e cujo ponto final é o ponto B. As coordenadas do vetor AB são determinados subtraindo respectivamente as coordenadas de B das coordenadas de A:

AB = (0-2) Eu + (1-1) j + (1-3) k = -2Eu + 0j -2 k

Procedemos da mesma maneira para encontrar o vetor AC:

AC = (4-2) Eu + (2-1) j + (1-3) k = 2Eu + j -2 k

Cálculo do produto vetorial AB x AC

Existem vários procedimentos para encontrar o produto vetorial entre dois vetores. Este exemplo usa um procedimento mnemônico que faz uso da seguinte figura para encontrar os produtos vetoriais entre os vetores unitários Eu, j Y k:

Para começar, é bom lembrar que os produtos vetoriais entre vetores paralelos são nulos, portanto:

Eu x Eu = 0; j x j = 0; k x k = 0

E como o produto vetorial é outro vetor perpendicular aos vetores participantes, ao se mover na direção da seta vermelha temos:

 Eu x j = k ; j x k = Eu; k x Eu = j

Se você tiver que se mover na direção oposta à da seta, adicione um sinal (-):

 j x Eu = – k; k x j = –Eu; Eu x k = –j

No total, é possível fazer 9 produtos vetoriais com os vetores unitários Eu, j Y k, dos quais 3 serão nulos.

AB x AC = (-2Eu + 0j -2 k) x (2Eu + j -2 k)= -4(Eu x Eu) -2(Eu x j)+4 (Eu x k)+0 (j x Eu) + 0 (j x j) – 0 (j x k) – 4 (k x Eu)-2 (k x j) + 4 (k x k) = -2k-4j-4j+2Eu = 2Eu -8j-2k

Equação do plano

O vetor N foi determinado pelo produto do vetor calculado anteriormente:

 N = 2Eu -8j-2k

Portanto, a = 2, b = -8, c = -2, o plano procurado é:

ax + by + cz + d = 0 → 2x-8y-2z + d = 0

O valor de d. Isso é fácil se os valores de qualquer um dos pontos A, B ou C que estão disponíveis forem substituídos na equação do plano. Escolhendo C, por exemplo:

x = 4; y = 2; z = 1

Permanece:

2,4 - 8,2 - 2,1 + d = 0

-10 + d = 0

d = 10

Em suma, o mapa procurado é:

2x-8y-2z +10 = 0

O leitor curioso pode se perguntar se o mesmo resultado teria sido obtido se ao invés de fazer AB x AC eles teriam escolhido realizar AC x AB. A resposta é sim, o plano determinado por esses três pontos é único e possui dois vetores normais, conforme mostrado na figura 2.

Quanto ao ponto selecionado como origem dos vetores, não há problema em escolher nenhum dos outros dois.

Referências

  1. Figueroa, D. (2005). Série: Física para Ciência e Engenharia. Volume 1. Cinemática. Editado por Douglas Figueroa (USB). 31-62.
  2. Encontrando o normal para um plano. Recuperado de: web.ma.utexas.edu.
  3. Larson, R. (1986). Cálculo e geometria analítica. Mc Graw Hill. 616-647.
  4. Linhas e planos em R 3. Recuperado de: math.harvard.edu.
  5. Vetor normal. Recuperado de mathworld.wolfram.com.