Decágono: regular, irregular, propriedades, exemplos - Ciência - 2023

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o decágono é uma figura plana em forma de polígono com 10 lados e 10 vértices ou pontos. Os decágonos podem ser regulares ou irregulares, no primeiro caso todos os lados e ângulos internos têm a mesma medida, enquanto no segundo os lados e / ou ângulos são diferentes um do outro.

Na figura 1 são mostrados exemplos de decágono de cada tipo e, como podemos ver, o decágono regular é muito simétrico.

Os elementos básicos de cada decágono são:

-Lados, os segmentos de linha que quando unidos formam o decágono.

-Vértices ou pontos entre cada lado consecutivo.

- Ângulos internos e externos entre os lados adjacentes.

-Diagonal, segmentos que unem dois vértices não consecutivos.

Os vértices são nomeados por letras maiúsculas, conforme mostrado na Figura 1, onde as primeiras letras do alfabeto foram usadas, mas qualquer letra pode ser usada.

Os lados são simbolizados com as duas letras dos vértices entre os quais estão, por exemplo o lado AB é aquele entre os vértices A e B. O mesmo é feito com as diagonais, portanto temos a diagonal AF, que une pontos A e F.

Para os ângulos, usamos este símbolo: ∠, semelhante a um L inclinado Por exemplo, o ângulo ∠ ABC é aquele cujo vértice é B e cujos lados são os segmentos AB e BC.

Decágono regular

No decágono regular, todos os lados têm a mesma medida, assim como os ângulos internos. Portanto, é dito que é equilátero (lados iguais) e equiângulo (ângulos iguais). É uma figura muito simétrica

Ângulos internos de um decágono regular

Para encontrar a medida dos ângulos internos de um polígono regular, incluindo o decágono regular, a seguinte fórmula é usada:

Onde:

-I é a medida do ângulo em graus.

-n é o número de lados do polígono. No caso do decágono n = 10.

Substituindo n = 10 na fórmula anterior, obtemos o seguinte:

Agora, um polígono é dito ser convexo se suas medidas angulares são menores que 180º, caso contrário, o polígono é côncavo. Como qualquer ângulo interno do decágono regular mede 144º e é menor que 180º, ele é um polígono convexo.

Soma dos ângulos internos

A soma das medidas dos ângulos internos de qualquer polígono é, em graus:

S = (n-2) x 180 °; n é sempre maior que 2

Nesta fórmula temos:

-S é a soma das medidas dos ângulos internos.

-n é o número de lados. Para o decágono n = 10

Aplicando a fórmula para n = 10 resultados:

S = (10 - 2) x 180º = 1440º

Ângulos externos

Um ângulo externo é formado entre um lado e a extensão do lado adjacente, vejamos:

O ângulo ∠ ABC mais o ângulo externo somam 180º, ou seja, são suplementar. Portanto o ângulo externo é igual a 180º-144º = 36º, como podemos ver na figura.

Número de diagonais

Como dito antes, as diagonais são os segmentos que unem vértices não consecutivos. Quantas diagonais podemos desenhar em um decágono? Quando o número de vértices é pequeno, eles podem ser facilmente contados, mas quando esse número aumenta, você pode perder a conta.

Felizmente, existe uma fórmula para saber o número de diagonais que um polígono de n lados:

Para o decágono, substituímos n = 10 e obtemos:

D = 10 x (10 - 3) / 2 = 35

No decágono regular, todas as diagonais se cruzam em um ponto, que é o centro da figura:

Centro

O centro de um polígono é definido como aquele ponto equidistante de qualquer vértice. Na figura acima, o centro coincide com o ponto de intersecção de todas as diagonais.

Perímetro

Se o decágono regular tem lado a, seu perímetro P é a soma de todos os lados:

P = 10.a

Área

Saber o comprimento para na lateral, a área do decágono regular é calculada por:

Uma fórmula aproximada para a área é:

E uma terceira opção para encontrar a área é através do comprimento do apótema L_PARA. Este é o segmento que une o ponto médio de um lado ao centro do polígono.

Nesse caso, a área pode ser calculada usando a fórmula:

Decágono irregular

O decágono irregular não é equilátero ou equiangular e geralmente carece da simetria da figura regular, embora alguns decágonos possam ter um eixo de simetria.

Também podem ser convexos ou côncavos, se houver ângulos internos maiores que 180º.

O decágono irregular da figura 1 é côncavo, pois alguns de seus ângulos internos são maiores que 180º. Claramente, existem muitas combinações de ângulos e lados que resultam em um decágono irregular.

Em qualquer caso, é verdade que:

-Os ângulos internos de um decágono irregular também somam 1440º.

-Também possui 35 diagonais.

Área de um decágono irregular por determinantes gaussianos

Em geral, não existe uma fórmula única para encontrar a área de um polígono irregular, uma vez que os lados e ângulos são diferentes. No entanto, pode ser encontrado conhecendo as coordenadas dos vértices e calculando oDeterminantes gaussianos:

-Vamos ligar (x_n , Y_n) às coordenadas dos vértices, com n variando de 1 a 10.

-Você pode começar a partir de qualquer vértice, para o qual as coordenadas (x₁, Y₁) Agora temos que substituir os valores de cada coordenada nesta fórmula:

Onde os determinantes são precisamente as operações entre parênteses.

-É importante notar que o último determinante envolve novamente o primeiro vértice junto com o último. Para o decágono, seria assim:

(x₁₀Y₁ - x₁Y₁₀)

Importante: As barras são de valor absoluto e significam que o resultado final é dado com um sinal positivo sempre.

O procedimento pode ser trabalhoso quando a figura possui muitos vértices, no caso do decágono são 10 operações, por isso é aconselhável fazer uma tabela ou uma lista.

Exercício resolvido

Calcule a área do decágono irregular mostrado na figura. As coordenadas dos vértices são A, B, C ... J, cujos valores são mostrados à esquerda.

Solução

- Fazemos cada uma das 10 operações:

2×6 – 4×0 = 12 – 0 =12
0×4 – 6×(-2) = 0 + 12 =12
(-2)×7- 4×(-5) = -14 + 20 = 6
(-5)×2 – 7×(-6) = -10 + 42 = 32
(-6)×(-4) – 2×(-4) = 24 + 8 =32
(-4)×(-2) – (-4)×(-2) = 8 – 8 =0
(-2)×0 – (-2)×(-1) =0 -2
(-1)×0 – 0×(2) = 0 – 0 = 0
2×2 – 0×8 = 4 – 0 = 4
8×4 -2×2 = 32 – 4 = 28

-Vamos adicionar os resultados:

12 + 12 + 6 + 32 + 32 + 0 + (-2) + 0 + 4 + 28 = 124

Um resultado positivo é obtido mesmo sem as barras de valor absoluto, mas se for negativo, o sinal é alterado.

-O resultado anterior é dividido por 2 e essa é a área do polígono:

A = 124/2 = 62

Propriedades do Decágono

Aqui está o resumo das propriedades gerais de um decágono, regular ou irregular:

-Tem 10 lados e 10 vértices.

-A soma dos ângulos internos é 1440º.

-Há 35 diagonais.

-O perímetro é a soma de todos os lados.

-Você pode criar triângulos dentro de um polígono desenhando segmentos de um vértice para todos os outros. Em um decágono é possível desenhar 8 triângulos desta forma, como no mostrado abaixo:

Referências

Alexander, D. 2013. Geometria. 5 ª. Edição. Cengage Learning.
Decagon.com. Decágono. Recuperado de: decagono.com
Referência de matemática aberta. Decágono. Recuperado de: mathopenref.com.
Sangaku Maths. Elementos de um polígono e sua classificação. Recuperado de: sangakoo.com.
Wikipedia. Decágono. Recuperado de: es.wikipedia.com.