Antecedentes históricos da geometria analítica - Ciência - 2023

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o fundo histórico da geometria analítica datam do século XVII, quando Pierre de Fermat e René Descartes definiram sua ideia fundamental. Sua invenção acompanhou a modernização da álgebra e da notação algébrica de François Viète.

Este campo tem suas bases na Grécia Antiga, principalmente nas obras de Apolônio e Euclides, que tiveram grande influência nesta área da matemática.

A ideia essencial por trás da geometria analítica é que uma relação entre duas variáveis, de forma que uma seja função da outra, define uma curva. Esta ideia foi desenvolvida por Pierre de Fermat. Graças a esta estrutura essencial, Isaac Newton e Gottfried Leibniz foram capazes de desenvolver o cálculo.

O filósofo francês Descartes também descobriu uma abordagem algébrica da geometria, aparentemente por conta própria. O trabalho de Descartes sobre geometria aparece em seu famoso livro Discurso sobre o método.

Este livro destaca que as construções geométricas de compasso e borda reta envolvem adição, subtração, multiplicação e raízes quadradas.

A geometria analítica representa a união de duas tradições importantes da matemática: a geometria como estudo da forma e a aritmética e a álgebra, que têm a ver com quantidade ou números. Portanto, geometria analítica é o estudo do campo da geometria usando sistemas de coordenadas.

História

Antecedentes da geometria analítica

A relação entre geometria e álgebra evoluiu ao longo da história da matemática, embora a geometria tenha alcançado um estágio anterior de maturidade.

Por exemplo, o matemático grego Euclides foi capaz de organizar muitos resultados em seu livro clássico Os elementos.

Mas foi o grego antigo Apolônio de Perga que previu o desenvolvimento da geometria analítica em seu livro Cônicas. Ele definiu uma cônica como a interseção entre um cone e um plano.

Usando os resultados de Euclides em triângulos e secantes de círculos semelhantes, ele encontrou uma relação dada pelas distâncias de qualquer ponto "P" de uma cônica a duas retas perpendiculares, o eixo principal de uma cônica e a tangente em um ponto final do eixo. Apolônio usou essa relação para deduzir propriedades fundamentais das cônicas.

O desenvolvimento subsequente de sistemas de coordenadas em matemática só surgiu depois que a álgebra amadureceu, graças aos matemáticos islâmicos e indianos.

Até o Renascimento, a geometria era usada para justificar soluções para problemas algébricos, mas não havia muito que a álgebra pudesse contribuir para a geometria.

Essa situação mudaria com a adoção de uma notação conveniente para relações algébricas e o desenvolvimento do conceito de função matemática, que agora era possível.

Século XVI

No final do século 16, o matemático francês François Viète introduziu a primeira notação algébrica sistemática, usando letras para representar quantidades numéricas, conhecidas e desconhecidas.

Ele também desenvolveu métodos gerais poderosos para trabalhar expressões algébricas e resolver equações algébricas.

Graças a isso, os matemáticos não eram totalmente dependentes de figuras geométricas e da intuição geométrica para resolver problemas.

Alguns matemáticos até começaram a abandonar a forma geométrica padrão de pensar, segundo a qual variáveis lineares de comprimentos e quadrados correspondem a áreas, enquanto variáveis cúbicas correspondem a volumes.

Os primeiros a dar esse passo foram o filósofo e matemático René Descartes, e o advogado e matemático Pierre de Fermat.

Fundação da geometria analítica

Descartes e Fermat fundaram independentemente a geometria analítica durante a década de 1630, adotando a álgebra de Viète para o estudo do locus.

Esses matemáticos perceberam que a álgebra era uma ferramenta poderosa na geometria e inventaram o que hoje é conhecido como geometria analítica.

Uma descoberta que eles fizeram foi derrotar Viète usando letras para representar distâncias que são variáveis em vez de fixas.

Descartes usou equações para estudar curvas geometricamente definidas e enfatizou a necessidade de considerar curvas algébrico-gráficas gerais de equações polinomiais em graus "x" e "y".

Por sua vez, Fermat enfatizou que qualquer relação entre as coordenadas "x" e "y" determina uma curva.

Usando essas idéias, ele reestruturou as declarações de Apolônio em termos algébricos e restaurou algumas de suas obras perdidas.

Fermat indicou que qualquer equação quadrática em "x" e "y" pode ser colocada na forma padrão de uma das seções cônicas. Apesar disso, Fermat nunca publicou seu trabalho sobre o assunto.

Graças aos seus avanços, o que Arquimedes só poderia resolver com grande dificuldade e para casos isolados, Fermat e Descartes puderam resolver rapidamente e por um grande número de curvas (hoje conhecidas como curvas algébricas).

Mas suas idéias só ganharam aceitação geral por meio dos esforços de outros matemáticos na segunda metade do século XVII.

Os matemáticos Frans van Schooten, Florimond de Beaune e Johan de Witt ajudaram a expandir o trabalho de Decartes e acrescentaram material adicional importante.

Influência

Na Inglaterra, John Wallis popularizou a geometria analítica. Ele usou equações para definir as cônicas e derivar suas propriedades. Embora ele usasse coordenadas negativas livremente, foi Isaac Newton quem usou dois eixos oblíquos para dividir o plano em quatro quadrantes.

Newton e o alemão Gottfried Leibniz revolucionaram a matemática no final do século 17, demonstrando independentemente o poder do cálculo.

Newton demonstrou a importância dos métodos analíticos em geometria e seu papel no cálculo, quando afirmou que qualquer cubo (ou qualquer curva algébrica de terceiro grau) tem três ou quatro equações padrão para eixos coordenados adequados. Com a ajuda do próprio Newton, o matemático escocês John Stirling provou isso em 1717.

Geometria analítica de três ou mais dimensões

Embora Descartes e Fermat tenham sugerido o uso de três coordenadas para estudar curvas e superfícies no espaço, a geometria analítica tridimensional desenvolveu-se lentamente até 1730.

Os matemáticos Euler, Hermann e Clairaut produziram equações gerais para cilindros, cones e superfícies de revolução.

Por exemplo, Euler usou equações para translações no espaço para transformar a superfície quadrática geral de modo que seus eixos principais coincidam com seus eixos de coordenadas.

Euler, Joseph-Louis Lagrange e Gaspard Monge tornaram a geometria analítica independente da geometria sintética (não analítica).

Referências

O desenvolvimento da geometria analítica (2001). Recuperado de encyclopedia.com
História da geometria analítica (2015). Recuperado de maa.org
Análise (Matemática). Recuperado da britannica.com
Geometria analítica. Recuperado da britannica.com
Descartes e o nascimento da geometria analítica. Recuperado de sciencedirect.com