Lei de Biot-Savart: fórmula, demonstração, aplicações, exercícios - Ciência - 2023

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o Lei Biot-Savart estabelece uma relação entre o campo magnético dB em um ponto P, produzido por um fio fino que carrega uma corrente I e cujo comprimento diferencial é ds. Esta lei é usada para encontrar o campo magnético de distribuições de corrente por meio do princípio de superposição.

Isso significa que para calcular o campo magnético total no ponto P, devemos somar todas as contribuições que cada parte diferencial ds do fio contribui. E essa soma é feita por meio de uma integral realizada sobre toda a distribuição atual.

Desta forma, o campo produzido por fios vivos de diferentes geometrias pode ser calculado.

A lei de Biot-Savart leva o nome de dois físicos franceses que a descobriram em 1820: Jean Marie Biot (1774-1862) e Felix Savart (1791-1841). Para conseguir isso, eles tiveram que estudar a intensidade e a forma do campo magnético produzido por numerosas distribuições de corrente.

Fórmula

A expressão matemática da lei de Biot-Savart é a seguinte:

Ele mantém analogias com seu equivalente para calcular o campo elétrico: a lei de Coulomb, apenas que o campo magnético dB em P é perpendicular para o plano onde o fio está. Podemos ver isso na figura 1.

A expressão acima também pode ser escrita da seguinte forma:

Em ambas as expressões, r é o vetor de posição, direcionado do ID do elemento atuals até o ponto onde você deseja calcular o talhão.

Por sua parte,r com um acento circunflexo é o vetor unitário que é direcionado na mesma direção e sentido, mas com um módulo igual a 1. O vetor r é representado assim:

Além dos vetores mencionados, a fórmula contém a constante μ_ou, ligar permeabilidade a vácuo e cujo valor é:

μ_ou = 4π x10^-7T.m / A.

Se quisermos calcular o vetor do campo magnético, é necessário integrá-la sobre toda a distribuição de corrente, para a qual precisamos dos dados sobre sua geometria:

O produto vetorial e a regra da mão direita

A lei de Biot-Savart envolve um produto vetorial entre os vetores Ids Y r. O resultado de um produto vetorial entre dois vetores também é um vetor.

Neste caso, o módulo do ID do produto vetorials x r é: (Ids) ⋅r⋅senθ, onde θ é o ângulo entre Ids Y r, conforme mostrado na figura 1.

Desta forma, a magnitude do campo dB É dado por:

A direção e a direção podem ser determinadas com a regra da mão direita, ilustrada nesta figura:

Convidamos o leitor a posicionar sua mão direita seguindo os vetores das figuras 1 e 2. Para a figura 1, o dedo indicador deve apontar para a esquerda, seguindo Idsou ideu, o dedo médio aponta de acordo com o vetor r unitário.

E finalmente o polegar é direcionado para cima e esta é a direção do campo magnético.

Demonstração da lei Biot-Savart

A lei de Biot-Savart é eminentemente experimental por natureza, o que significa que sua formulação vem de muitas observações sobre o comportamento do campo magnético produzido pelos fios de corrente.

Observações de Biot e Savart

Estas foram as observações de cientistas franceses sobre o campo magnético dB:

-A magnitude de dB é inversamente proporcional a r².

–Também é diretamente proporcional à magnitude do elemento de corrente, que é chamado de Ids e também para sen θ, onde θ é o ângulo entre os vetores ds Y r.

-dB é perpendicular a ambos Ids -A direção da corrente- quanto a r.

-A direção de dB é tangencial a uma circunferência de raio r centralizado no fio. Em outras palavras, o campo B produzido por um segmento de corrente consiste em círculos concêntricos ao fio.

-A direção em que gira B É dada pela regra do polegar direito: o polegar direito é apontado na direção da corrente e os quatro dedos restantes são enrolados no fio, acompanhando a circulação do campo.

Todas essas observações são combinadas na expressão matemática da lei descrita anteriormente.

Aplicações da lei Biot-Savart

Quando a distribuição atual tem alta simetria, a integral pode ser facilmente resolvida, vamos ver alguns casos:

Arame reto e fino

Um fio retilíneo de comprimento L carrega uma corrente I, como a mostrada na figura.

Ele ilustra a geometria necessária para calcular o campo. Este é perpendicular à folha de papel, projetando-se do plano se a corrente fluir da esquerda para a direita e entrando de outra forma (verifique com a regra da mão direita).

Estar ko vetor unitário na direção perpendicular ao plano, após realizar o processo de integração, o campo magnético que o fio produz em P é:

O laço circular do raio para carrega uma corrente como mostrado na figura e produz um campo magnético dB -em verde escuro- no ponto P no eixo axial, a uma distância x do Centro.

Outro elemento de corrente localizado no lado oposto, produziria outra contribuição para o campo dB (verde claro), de modo que seu componente vertical cancela com o primeiro.

O resultado é que o campo magnético líquido é horizontal, então ele se integra apenas a esses componentes, resultando em:

Exercício resolvido

Você tem um fio extremamente longo que carrega uma corrente de 2A fluindo conforme mostrado na imagem. Calcule a magnitude do campo magnético a uma distância radial de 5 cm do fio.

Solução

Por ser um fio muito longo, podemos tomar a expressão para o segmento retilíneo e fazer θ₁= 0º e θ₂ = 180º para os ângulos limite. Isso é suficiente para que o comprimento do fio tenda ao infinito.

Desta forma teremos o campo é:

Agora substituímos os valores da instrução:

I = 2 A

r = 5 x10^-2 m

μ_ou= 4π x10^-7T.m / A

Referências

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