Frequência cumulativa: fórmula, cálculo, distribuição, exemplos - Ciência - 2023

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o Frequência acumulativa é a soma das frequências absolutas f, da mais baixa até aquela que corresponde a um determinado valor da variável. Por sua vez, a frequência absoluta é o número de vezes que uma observação aparece no conjunto de dados.

Obviamente, a variável de estudo deve ser classificável. E como a frequência acumulada é obtida somando as frequências absolutas, verifica-se que a frequência acumulada até os últimos dados, deve coincidir com o total delas. Caso contrário, há um erro nos cálculos.

Normalmente, a frequência cumulativa é denotada como F_Eu (ou às vezes n_Eu), para distingui-lo da frequência absoluta f_Eu e é importante adicionar uma coluna para ele na tabela com a qual os dados são organizados, conhecida como tabela de frequência.

Isso torna mais fácil, entre outras coisas, manter o controle de quantos dados foram contados até uma determinada observação.

A F_Eu também é conhecido como frequência cumulativa absoluta. Se dividido pelo total de dados, temos o frequência cumulativa relativa, cuja soma final deve ser igual a 1.

Fórmulas

A frequência cumulativa de um determinado valor da variável X_Eu é a soma das frequências absolutas f de todos os valores menores ou iguais a ele:

F_Eu = f₁ + f₂ + f₃ +… F_Eu

Ao somar todas as frequências absolutas, o número total de dados N é obtido, ou seja:

F₁ + F₂ + F₃ +…. + F_n = N

A operação anterior é escrita de forma resumida pelo símbolo de soma ∑:

∑ F_Eu = N

Outras frequências acumuladas

As seguintes frequências também podem ser acumuladas:

-Frequência relativa: é obtido dividindo a frequência absoluta f_Eu entre os dados totais N:

F_r = f_Eu / N

Se as frequências relativas são adicionadas da mais baixa para aquela correspondente a uma determinada observação, temos o frequência relativa cumulativa. O último valor deve ser igual a 1.

- Frequência relativa cumulativa percentual: a frequência relativa acumulada é multiplicada por 100%.

F_% = (f_Eu / N) x 100%

Essas frequências são úteis para descrever o comportamento dos dados, por exemplo, ao encontrar medidas de tendência central.

Como obter a frequência acumulada?

Para obter a frequência acumulada, é necessário ordenar os dados e organizá-los em uma tabela de frequência. O procedimento é ilustrado na seguinte situação prática:

- Em uma loja online que vende celulares, o histórico de vendas de uma determinada marca para o mês de março apresentava os seguintes valores por dia:

1; 2; 1; 3; 0; 1; 0; 2; 4; 2; 1; 0; 3; 3; 0; 1; 2; 4; 1; 2; 3; 2; 3; 1; 2; 4; 2; 1; 5; 5; 3

A variável é o número de telefones vendidos por dia e é quantitativo. Os dados apresentados desta forma não são tão fáceis de interpretar, por exemplo, os donos da loja podem estar interessados em saber se existe alguma tendência, como dias da semana em que as vendas dessa marca são mais elevadas.

Informações como essa e outras podem ser obtidas apresentando os dados de maneira ordenada e especificando as frequências.

Como preencher a tabela de frequência

Para calcular a frequência acumulada, os dados são primeiro ordenados:

0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 4; 4; 4; 5; 5

Em seguida, uma tabela é construída com as seguintes informações:

-A primeira coluna à esquerda com o número de telefones vendidos, entre 0 e 5 e em ordem crescente.

-Segunda coluna: frequência absoluta, que é o número de dias em que 0 telefones, 1 telefone, 2 telefones e assim por diante foram vendidos.

- Terceira coluna: a frequência acumulada, composta pela soma da frequência anterior mais a frequência dos dados a serem considerados.

Esta coluna começa com os primeiros dados na coluna de frequência absoluta, neste caso é 0. Para o próximo valor, adicione-o ao anterior. Isso continua até que os últimos dados de frequência acumulados sejam alcançados, que deve coincidir com os dados totais.

Tabela de frequência

A tabela a seguir mostra a variável “quantidade de telefones vendidos por dia”, sua frequência absoluta e o cálculo detalhado de sua frequência acumulada.

À primeira vista, pode-se afirmar que, da marca em questão, quase sempre são vendidos um ou dois telefones por dia, já que a maior frequência absoluta é de 8 dias, que corresponde a esses valores da variável. Apenas durante 4 dias do mês eles não venderam um único telefone.

Conforme observado, a tabela é mais fácil de examinar do que os dados individuais coletados originalmente.

Distribuição de frequência cumulativa

Uma distribuição de frequência cumulativa é uma tabela que mostra as frequências absolutas, as frequências cumulativas, as frequências relativas cumulativas e as frequências percentuais cumulativas.

Embora haja a vantagem de organizar os dados em uma tabela como a anterior, se o número de dados for muito grande pode não ser suficiente para organizá-lo como mostrado acima, pois se houver muitas frequências, ainda se torna difícil de interpretar.

O problema pode ser resolvido com a construção de um distribuição de frequência por intervalos, um procedimento útil quando a variável assume um grande número de valores ou se é uma variável contínua.

Aqui, os valores são agrupados em intervalos de igual amplitude, chamados classe. As aulas são caracterizadas por ter:

-Limite de classe: são os valores extremos de cada intervalo, existem dois, o limite superior e o limite inferior. Em geral, o limite superior não pertence ao intervalo, mas ao próximo, enquanto o limite inferior pertence.

- Marca da classe: é o ponto médio de cada intervalo e é considerado o valor representativo do mesmo.

- Largura da classe: É calculado subtraindo o valor dos maiores e menores dados (intervalo) e dividindo pelo número de classes:

Largura da classe = intervalo / número de classes

A elaboração da distribuição de frequência é detalhada a seguir.

Exemplo

Este conjunto de dados corresponde a 40 pontuações em um teste de matemática, em uma escala de 0 a 10:

0; 0;0; 1; 1; 1; 1; 2; 2; 2; 3; 3; 3; 3; 4; 4; 4; 4; 5; 5; 5; 5; 6; 6; 6; 6; 7; 7; 7; 7; 7; 7; 8; 8; 8; 9; 9; 9;10; 10.

Uma distribuição de frequência pode ser feita com um certo número de classes, por exemplo 5 classes. Deve-se ter em mente que com o uso de muitas classes, os dados não são fáceis de interpretar e o senso de agrupamento se perde.

E se, ao contrário, eles são agrupados em muito poucos, então a informação se dilui e parte dela se perde. Tudo depende da quantidade de dados que você possui.

Neste exemplo, é uma boa ideia ter duas pontuações em cada intervalo, pois serão 10 pontuações e serão criadas 5 classes. A classificação é a subtração entre a nota mais alta e a mais baixa, sendo a largura da classe:

Largura da classe = (10-0) / 5 = 2

Os intervalos são fechados à esquerda e abertos à direita (exceto o último), que é simbolizado por colchetes e parênteses respectivamente. Todos têm a mesma largura, mas não é obrigatório, embora seja o mais comum.

Cada intervalo contém uma certa quantidade de elementos ou frequência absoluta, e na próxima coluna está a frequência acumulada, na qual a soma é transportada. A tabela também mostra a frequência relativa f_r (frequência absoluta entre o número total de dados) e a frequência relativa percentual f_r×100%.

Exercício proposto

Uma empresa fez ligações diárias para seus clientes durante os primeiros dois meses do ano. Os dados são os seguintes:

6, 12, 7, 15, 13, 18, 20, 25, 12, 10, 8, 13, 15, 6, 9, 18, 20, 24, 12, 7, 10, 11, 13, 9, 12, 15, 18, 20, 13, 17, 23, 25, 14, 18, 6, 14, 16, 9, 6, 10, 12, 20, 13, 17, 14, 26, 7, 12, 24, 7

Agrupe em 5 classes e construa a tabela com a distribuição de frequência.

Resposta

A largura da classe é:

(26-6)/5 = 4

Tente descobrir antes de ver a resposta.

Referências

Berenson, M. 1985. Statistics for management and economics. Interamericana S.A.
Devore, J. 2012. Probability and Statistics for Engineering and Science. 8º. Edição. Cengage.
Levin, R. 1988. Statistics for Administrators. 2ª Edição. Prentice Hall.
Probabilidade e Estatística. Largura do intervalo de classe. Recuperado de: pedroprobabilidadyestadistica.blogspot.com.
Spiegel, M. 2009. Estatísticas. Schaum series. 4º Edição. McGraw Hill.
Walpole, R. 2007. Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências. Pearson.