Função de degrau: características, exemplos, exercícios - Ciência - 2023

Contente

• Características da função step
• Exemplos de funções de etapa
• - Exemplo 1: a função de parte inteira
• Função telhado ou céu
• Piso ou função do piso
• - Exemplo 2
• Exercícios resolvidos
• - Exercício 1
• Solução
• Para t ≤ 10 minutos
• Por t> 10 minutos
• Caso t inteiro
• Caso t decimal
• Função e gráfico
• - Exercício 2
• Solução
• Referências

o função de degrau y = s (x) é uma função por partes ou por partes, tal que em um intervalo finito [a, b] tem um número finito de descontinuidades, que chamaremos de x₀ <x₁ <x₂ <…. x_n. Em cada intervalo aberto (x_Eu , x_{i + 1}) e tem um valor constante de valor s_Eu, com descontinuidades - saltos - nos pontos x_Eu.

O gráfico que resulta de uma função como essa consiste em etapas ou degraus. Vamos ver um exemplo abaixo:

O gráfico desta função de etapa tem três etapas ou intervalos de etapa, mas em geral a função de etapa pode ter qualquer número de etapas. A largura dos degraus pode ser diferente e a escada nem sempre é ascendente ou descendente.

A função de etapa no exemplo pode ser escrita especificando a largura e a altura de cada etapa, assim:

Características da função step

-A função recebe seu nome a partir do gráfico em forma de passos, dados pelos segmentos que a compõem. Cada segmento tem uma parte do domínio da função e em cada segmento a função é constante.

-O domínio de uma função degrau são os valores que pertencem ao intervalo para o qual está definida: [a, b], enquanto o intervalo é composto pelos valores s_Eu das alturas dos degraus.

No exemplo da Figura 1, o domínio é o intervalo [-3,3] e o intervalo são os valores -1, 1 e 2.

-A função step é contínua, exceto para os valores que delimitam cada passo, os pontos x_Eu.

-As funções escalonadas podem ser adicionadas e multiplicadas para dar origem a novas funções escalonadas.

-Sua derivada é 0 para os pontos onde está definida, pois neles a função é constante. Por sua vez, a derivada não existe nas descontinuidades.

-A integral da função degrau s (x) entre para Y b existe e corresponde à soma das áreas dos retângulos de largura x_Eu- x_i-1 e altura s_k, igual ao do degrau.

Como a área de um retângulo é o produto da base pela altura, temos:

Exemplos de funções de etapa

Dentro das funções de etapa, existem vários tipos, por exemplo, as funções departe inteira e a função passo unitáriobem como vários recursos em camadas que descrevem situações comuns, como taxas para muitos serviços. Vejamos alguns exemplos:

- Exemplo 1: a função de parte inteira

A função de parte inteira é frequentemente indicada por colchetes duplos:

f (x) = [[x]]

E é definida como uma função que atribui a cada número real o inteiro maior ou menor mais próximo, ignorando qualquer decimal que o número tenha. Conforme o caso, temos:

Função telhado ou céu

Atribua a cada valor no domínio o número inteiro mais próximo por excesso. Por exemplo:

[[+2.56]] = 3

A parte decimal 0,56 é ignorada e o inteiro mais próximo maior que 2 é atribuído.

Outro exemplo:

[[–4.2]]= –3

Novamente, a parte decimal 0,2 é omitida e o maior inteiro mais próximo de -4, que é -3, é considerado o valor da função.

Na figura a seguir está o gráfico da função de teto, observe que a etapa é delimitada por um pequeno círculo vazio à esquerda e um completo à direita, uma vez que qualquer número no intervalo é atribuído ao maior número inteiro entre os extremos do intervalo.

Por exemplo, todos os valores entre 3 e 4 são atribuídos ao número inteiro 4, aqueles entre -2 e -1 são atribuídos a -1 e assim por diante.

Piso ou função do piso

Atribua a cada valor no domínio o inteiro mais próximo por padrão. Exemplos dessa função são:

[[+3.7]] = 3

[[-1.5]] = -2

[[π]] = 3

Ambas as funções são contínuas, exceto para inteiros, onde ocorrem saltos, e é constante para valores entre inteiros k e k + 1.

- Exemplo 2

Em uma cidade, a tarifa de táxi é de $ 3,65 para os primeiros 100 m. E a cada 100 m são R $ 0,18, sendo o limite por percurso de 50 km.

Queremos estabelecer a função que relaciona a rota em metros com o custo do serviço em $, que deve ter a seguinte forma:

f (x) = 3,65 + 0,18. [[x / 100]] $

Onde a função de parte inteira pode ser do tipo de função céu, à qual é adicionada a taxa básica de $ 3,65. Por exemplo, se quisermos saber quanto será pago por uma viagem de 6,25 km = 6250 m, teremos:

f (x) = 3,65 + 0,18. [[x / 100]] $ = 3,65 + 0,18. [[6250/100]] $ = 3,65 + [[11,25]] $ = 15,65 $

Se a empresa de táxi escolher uma função de andar, o cliente pagaria um pouco menos pela viagem:

f (x) = 3,65 + 0,18. [[x / 100]] $ = 3,65 + 0,18. [[6250/100]] $ = 3,65 + [[11,25]] $ = 14,65 $

Exercícios resolvidos

- Exercício 1

As chamadas de longa distância entre as cidades A e B custam US $ 0,40 pelos primeiros 10 minutos. Após esse período, a fração ou minuto adicional vale $ 0,05.

Expresse o custo C (t) de uma chamada que dura um certo número de minutos.

Solução

Podemos expressar esta função se analisarmos o que acontece com cada opção durante uma chamada:

Para t ≤ 10 minutos

Quando t, que é a duração da chamada, é menor ou igual a 10 minutos, $ 0,40 é pago.

Portanto:

f (t) = 0,40 $ para t entre 0 e 10 minutos.

Já temos uma parte da função.

Por t> 10 minutos

Caso t inteiro

Agora vamos ver o que acontece quando o tempo de t = 10 minutos é ultrapassado: pode acontecer que o excesso seja um número inteiro, por exemplo que a conversa dure exatamente 11, 12, 13, 14 minutos ou mais. Nesse caso, o valor da chamada será:

f (t) = 0,40 + 0,05 (t-10) $, para t maior que 10 minutos, com t inteiro.

Em outras palavras, neste caso: t = 11, 12, 13, 14, 15 ... minutos.

Por exemplo, suponha que a conversa dure exatamente 15 minutos, o custo será:

f (15) = 0,40 + 0,05 (15-10) $ = 0,65 $

Caso t decimal

Finalmente, considere o caso em que a chamada dura um tempo com uma parte decimal. Por exemplo, suponha que a chamada dure 15 minutos e 45 segundos, o que na forma decimal seria 15,75 minutos.

Podemos expressá-lo em termos da função de parte integrante do tipo de piso, desde que a empresa queira dar mais benefícios ao cliente, ou do tipo de céu:

f (t) = 0,40 + 0,05 ⋅ [[t-9]] $

Vamos ver quanto o cliente pagaria se fosse uma função de piso:

f (15,75)= 0.40 + 0.05 ⋅ [[15.75-9]] $ = 0.40 + 0.05⋅[[6.75]] $ = 0.40 + 0.05× 6 $ = 0.70 $.

Ou como uma função do céu, neste caso o custo seria:

f (15,75)= 0.40 + 0.05 [[15.75-9]] $ = 0.40 + 0.05⋅[[6.75]] $ = 0.40 + 0.05×7 $ = 0.75 $.

Função e gráfico

Como uma função definida por partes, permanece:

O gráfico da função ficaria assim, assumindo que toda a função parcial do tipo teto foi escolhida:

- Exercício 2

Calcule a integral ∫s (x) dx entre -3 e 3 da função degrau:

Solução

Aplicamos a definição para a integral da função de etapa:

Portanto, a integral procurada I é:

I = 1. [(-1) - (- 3)] + 2. [1- (-1)] + (- 1). [3-1] = 2 + 4-2 = 4

Referências

1. Jiménez, R. 2006. Funções matemáticas. Pearson Education.
2. Larson, R. 2010. Cálculo de uma variável. 9º. Edição. McGraw Hill.
3. Matemática IV. Funções. Recuperado de: cobaqroo.edu.mx.
4. Wikipedia. Funções de parte inteira. Recuperado de: es.wikipedia.org.
5. Wikipedia. Função de etapa. Recuperado de: es.wikipedia.org.