O que são números triangulares? Propriedades e demonstrações - Ciência - 2023

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Conhecido comonúmeros triangulares à seqüência de números que são obtidos fazendo um arranjo ou figura de pontos na forma de um triângulo equilátero. Os primeiros na sequência são: 1, 3, 6, 10, 15, 21, ...

O primeiro número triangular é 1, o segundo é 3, porque é obtido adicionando uma linha de dois pontos ao anterior, para formar um triângulo equilátero de três elementos.

O terceiro é o 6, que surge ao adicionar uma linha de três pontos ao arranjo anterior, de forma que se forma um triângulo de três pontos por lado. O 10 da sequência é obtido adicionando-se outra linha ao arranjo anterior, de modo que um triângulo com quatro pontas de cada lado seja formado.

A fórmula que permite encontrar o elemento n da sequência triangular, conhecido o número triangular anterior é:

T_n = T_n-1 + n

A lista dos seis primeiros números triangulares é obtida assim:

–Primeiro: 1

–Segundo: 1 + 2 = 3

–Terceiro: (1 +2) + 3 = 3 + 3 = 6

–Quarto: (1 + 2 + 3) + 4 = 6 + 4 = 10

–Quinto: (1 + 2 + 3 + 4) + 5 = 10 + 5 = 15

–Sexto: (1 + 2 + 3 + 4 + 5) + 6 = 15 + 6 = 21

Propriedades dos números triangulares

1.- O enésimo número triangular Tn da sequência de números triangulares é a metade de n multiplicado por n + 1:

T_n = ½ n (n + 1)

2.- A soma do n-ésimo número triangular com o número triangular anterior, ou seja, o (n-1) -ésimo, é n ao quadrado:

T_n + T_n-1= n²

3.- A diferença do n-ésimo número triangular menos o n-ésimo triangular menos um é n:

T_n - T_n-1 = n

4.- A soma dos primeiros n números triangulares é chamada de número tetraédrico Sn e é igual a um sexto do produto de n multiplicado por (n + 1) e multiplicado por (n + 2):

S_n= ⅙ n (n + 1) (n + 2)

5.- Todo número natural N é o resultado da soma de três números triangulares:

N = Δ1 + Δ1 + Δ3

Esta última propriedade ou teorema, foi descoberta pelo grande matemático Carl Friedrich Gauss em 1796, que anotou em seu diário colocando a admiração grega Eureka! que significa "Consegui".

Essa foi a mesma palavra usada muito antes pelo grego Arquimedes ao determinar o peso aparente de um corpo submerso.

Nessa relação, o número zero é considerado triangular e pode haver repetição.

Manifestações

- Demonstração 1

Prove que o número triangular n-este:

T_n = ½ n (n + 1)

É fácil deduzir a fórmula acima, se percebermos que podemos adicionar um número igual de pontos ao arranjo triangular de modo que forme um quadrilátero de pontos.

Uma vez que o número total de pontos no arranjo quadrilateral é o número de linhas n multiplicado pelo número de colunas (n + 1), então o arranjo triangular terá apenas metade dos pontos do arranjo quadrilateral.

Aqui está ilustrado na figura 2.

- Demo 2

Mostre que a soma de n-ésimo número triangular com o n-ésimo menos 1 número triangular é n ao quadrado:

T_n + T_n-1= n²

Já foi mostrado que o número triangular n-th é dado por:

T_n= ½ n (n + 1)

Portanto, o número triangular acima é:

T_n-1 = ½ (n-1) ((n-1) + 1) = ½ n (n - 1)

A soma de ambos é:

T_n + T_n-1 = ½ n (n + 1) + ½ n (n - 1)

O fator comum ½ n é usado para obter:

T_n + T_n-1 = ½ n [(n + 1) + (n - 1)] = ½ n [n + 1 + n - 1]

E imediatamente a expressão dentro do colchete é simplificada:

T_n + T_n-1= ½ n [2 n] = ½ 2 n ⋅ n

Agora, lembrando que ½ vezes 2 é 1 e que n vezes n é n ao quadrado, temos:

T_n + T_n-1 = n²

Esta propriedade também pode ser mostrada na forma geométrica, basta completar o triângulo para formar um quadrado, conforme mostrado na Figura 3.

- Demo 3

A diferença do número de ordem triangular n menos o número de ordem triangular n-1 é n:

T_n - T_n-1 = n

Isso pode ser provado simplesmente lembrando que o seguinte número triangular é obtido do anterior usando a fórmula:

T_n = T_n-1 + n

E a partir daí é evidente que T_n - T_n-1 = n. Também é fácil visualizá-lo graficamente, conforme mostrado na Figura 4.

- Demo 5

A soma dos primeiros n números triangulares Sn é igual a um sexto do produto de n multiplicado por (n + 1) e multiplicado por (n + 2):

S_n = ⅙ n (n + 1) (n + 2)

Vamos usar o número triangular de ordem n:T_n= ½ n (n + 1). A soma do primeiro n números triangulares denotam-no por S_n

Por exemplo,S₁significa a soma do primeiro número triangular, que sem dúvida será 1.

A seguir, vamos ver se a fórmula que estamos tentando testar é verdadeira para n = 1:

S₁ = ⅙ 1⋅2⋅3 = 1

Na verdade, a fórmula para n = 1 é verificada. É fácil visualizar que a soma dos primeiros n + 1 números triangulares será a soma do primeiro n mais o próximo número triangular:

S_{n + 1} = S_n + T_{n + 1}

Agora suponha que a fórmula para S_n é verdadeiro para n, então o substituímos na expressão anterior e adicionamos o número triangular de ordem n + 1:

S_{n + 1} = [⅙ n (n + 1) (n + 2)] + [½ (n + 1) (n + 2)]

Vamos ver passo a passo o que você obtém:

- Realizamos a soma das duas expressões fracionárias:

S_{n + 1} = [2 n (n + 1) (n + 2) + 6 (n + 1) (n + 2)] / 12

-O fator comum de 2 (n + 1) (n + 2) é retirado do numerador e simplificado:

S_{n + 1} = 2 (n + 1) (n + 2) [n +3] / 12 = (n + 1) (n + 2) (n +3) / 6

O resultado acima concorda com a fórmula para Sn se n é substituído por n + 1, com o qual a fórmula para a soma dos primeiros n termos triangulares foi demonstrada por indução.

Número tetraédrico

O resultado assim obtido é denominado número tetraédrico de ordem n, porque é como acumular camadas triangulares que formam um tetraedro, conforme mostrado na animação a seguir.

Referências

Camacho J. Um aparecimento inesperado de números triangulares. Recuperado de: masscience.com
Claudio. Números triangulares. Recuperado de: simplesmente números. Blogspot. com
Wikipedia. Número triangular. Recuperado de: es.wikipedia.com
Wikipedia. Número triangular. Recuperado de: en.wikipedia.com
Wikipedia. Número tretraédrico. Recuperado de: en.wikipedia.com