Distribuições de probabilidade discretas: características, exercícios - Ciência - 2023

Contente

As distribuições de probabilidade discretas são uma função que atribui a cada elemento de X (S) = {x1, x2,…, xi,…}, onde X é uma dada variável aleatória discreta e S é o seu espaço amostral, a probabilidade de que tal evento ocorra. Esta função f de X (S) definida como f (xi) = P (X = xi) é às vezes chamada de função de massa de probabilidade.

Essa massa de probabilidades é geralmente representada em forma de tabela. Como X é uma variável aleatória discreta, X (S) tem um número finito de eventos ou infinito contável. Entre as distribuições de probabilidade discretas mais comuns, temos a distribuição uniforme, a distribuição binomial e a distribuição de Poisson.

Caracteristicas

A função de distribuição de probabilidade deve atender às seguintes condições:

Além disso, se X leva apenas um número finito de valores (por exemplo x1, x2, ..., xn), então p (xi) = 0 se i> ny, portanto, a série infinita da condição b torna-se um séries finitas.

Esta função também cumpre as seguintes propriedades:

Seja B um evento associado à variável aleatória X. Isso significa que B está contido em X (S). Especificamente, suponha que B = {xi1, xi2,…}. Portanto:

Em outras palavras, a probabilidade de um evento B é igual à soma das probabilidades dos resultados individuais associados a B.

Disto podemos concluir que se a <b, os eventos (X ≤ a) e (a <X ≤ b) são mutuamente exclusivos e, além disso, sua união é o evento (X ≤ b), então temos:

Tipos

Distribuição uniforme em n pontos

Diz-se que uma variável aleatória X segue uma distribuição caracterizada por ser uniforme em n pontos se a cada valor é atribuída a mesma probabilidade. Sua função de massa de probabilidade é:

Suponha que tenhamos um experimento que tem dois resultados possíveis, pode ser o lançamento de uma moeda cujos resultados possíveis são cara ou coroa, ou a escolha de um número inteiro cujo resultado pode ser um número par ou ímpar; Esse tipo de experimento é conhecido como testes de Bernoulli.

Em geral, os dois resultados possíveis são chamados de sucesso e fracasso, onde p é a probabilidade de sucesso e 1-p é a probabilidade de fracasso. Podemos determinar a probabilidade de x sucessos em n testes de Bernoulli que são independentes uns dos outros com a seguinte distribuição.

Distribuição binomial

É a função que representa a probabilidade de obtenção de x sucessos em n testes de Bernoulli independentes, cuja probabilidade de sucesso é p. Sua função de massa de probabilidade é:

O gráfico a seguir representa a função de massa de probabilidade para diferentes valores dos parâmetros da distribuição binomial.

A seguinte distribuição deve seu nome ao matemático francês Simeon Poisson (1781-1840), que a obteve como o limite da distribuição binomial.

Distribuição de veneno

Diz-se que uma variável aleatória X tem uma distribuição de Poisson do parâmetro λ quando pode assumir os valores inteiros positivos 0,1,2,3, ... com a seguinte probabilidade:

Nessa expressão, λ é o número médio correspondente às ocorrências do evento para cada unidade de tempo e x é o número de vezes que o evento ocorre.

Sua função de massa de probabilidade é:

Aqui está um gráfico que representa a função de massa de probabilidade para diferentes valores dos parâmetros da distribuição de Poisson.

Observe que, desde que o número de sucessos seja baixo e o número de testes realizados em uma distribuição binomial seja alto, sempre podemos aproximar essas distribuições, pois a distribuição de Poisson é o limite da distribuição binomial.

A principal diferença entre essas duas distribuições é que, enquanto o binomial depende de dois parâmetros - a saber, n e p -, o Poisson depende apenas de λ, que às vezes é chamado de intensidade da distribuição.

Até agora, falamos apenas sobre distribuições de probabilidade para casos em que os diferentes experimentos são independentes uns dos outros; isto é, quando o resultado de um não é afetado por nenhum outro resultado.

Quando ocorre o caso de haver experimentos não independentes, a distribuição hipergeométrica é muito útil.

Distribuição hipergeométrica

Seja N o número total de objetos de um conjunto finito, dos quais podemos identificar k deles de alguma forma, formando assim um subconjunto K, cujo complemento é formado pelos N-k elementos restantes.

Se escolhermos aleatoriamente n objetos, a variável aleatória X que representa o número de objetos pertencentes a K nessa escolha tem uma distribuição hipergeométrica dos parâmetros N, n e k. Sua função de massa de probabilidade é:

O gráfico a seguir representa a função de massa de probabilidade para diferentes valores dos parâmetros da distribuição hipergeométrica.

Exercícios resolvidos

Primeiro exercício

Suponha que a probabilidade de um tubo de rádio (colocado em determinado tipo de equipamento) operar por mais de 500 horas seja de 0,2. Se 20 tubos forem testados, qual é a probabilidade de que exatamente k deles funcionem por mais de 500 horas, k = 0, 1,2,…, 20?

Solução

Se X for o número de tubos que funcionam mais de 500 horas, assumiremos que X tem uma distribuição binomial. então

E assim:

Para k≥11, as probabilidades são menores que 0,001

Assim, podemos ver como aumenta a probabilidade de que k destes funcionem por mais de 500 horas, até atingir seu valor máximo (com k = 4) e então começar a diminuir.

Segundo exercício

Uma moeda é lançada 6 vezes. Quando o resultado for caro, diremos que é um sucesso. Qual é a probabilidade de que duas cabeças apareçam exatamente?

Solução

Para este caso, temos n = 6 e ambas as probabilidades de sucesso e fracasso são p = q = 1/2

Portanto, a probabilidade de que duas cabeças sejam dadas (ou seja, k = 2) é

Terceiro exercício

Qual é a probabilidade de encontrar pelo menos quatro cabeças?

Solução

Para este caso, temos que k = 4, 5 ou 6

Terceiro exercício

Suponha que 2% dos itens produzidos em uma fábrica estejam com defeito. Encontre a probabilidade P de que haja três itens defeituosos em uma amostra de 100 itens.

Solução

Para este caso, poderíamos aplicar a distribuição binomial para n = 100 ep = 0,02 obtendo como resultado:

No entanto, como p é pequeno, usamos a aproximação de Poisson com λ = np = 2. Então,

Referências

Kai Lai Chung. Teoria de Proabilidade Elementar com Processos Estocásticos. Springer-Verlag New York Inc
Kenneth.H. Rosen, Discrete Mathematics and its Applications. S.A. MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
Paul L. Meyer. Probabilidade e aplicações estatísticas. S.A. MEXICAN ALHAMBRA.
Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 Solved Problems of Discrete Mathematics. McGRAW-HILL.
Seymour Lipschutz Ph.D. Teoria e problemas de probabilidade. McGRAW-HILL.