Produtos notáveis: explicação e exercícios resolvidos - Ciência - 2023

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o produtos notáveis São operações algébricas, onde se expressam multiplicações de polinômios, que não precisam ser resolvidas tradicionalmente, mas com o auxílio de certas regras podem ser encontrados os resultados das mesmas.

Polinômios são multiplicados por sim, portanto, é possível que tenham um grande número de termos e variáveis. Para tornar o processo mais curto, são utilizadas as regras de produtos notáveis, que permitem a multiplicação sem ter que ir termo a termo.

Produtos e exemplos notáveis

Cada produto notável é uma fórmula que resulta de uma fatoração, composta por polinômios de vários termos, como binômios ou trinômios, chamados fatores.

Os fatores são a base de um poder e têm um expoente. Quando os fatores são multiplicados, os expoentes devem ser somados.

Existem várias fórmulas de produtos notáveis, algumas são mais usadas do que outras, dependendo dos polinômios, e são as seguintes:

Binomial ao quadrado

É a multiplicação de um binômio por si só, expresso como uma potência, onde os termos são somados ou subtraídos:

para. Binômio de soma quadrada: é igual ao quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o produto dos termos, mais o quadrado do segundo termo. É expresso da seguinte forma:

(a + b)² = (a + b) _*(a + b).

Na figura a seguir você pode ver como o produto se desenvolve de acordo com a regra acima mencionada. O resultado é chamado de trinômio de um quadrado perfeito.

Exemplo 1

(x + 5) ² = x² + 2 (x * 5) + 5²

(x + 5) ² = x² + 2 (5x) + 25

(x + 5) ² = x² + 10x + 25.

Exemplo 2

(4a + 2b) = (4a)² + 2 (4º _* 2b) + (2b)²

(4a + 2b) = 8a² + 2 (8ab) + 4b²

(4a + 2b) = 8a²+ 16 ab + 4b².

b. Binomial de uma subtração ao quadrado: a mesma regra do binômio de uma soma se aplica, só que neste caso o segundo termo é negativo. Sua fórmula é a seguinte:

(a - b)² = [(a) + (- b)]²

(a - b)² = a² + 2a _*(-b) + (-b)²

(a - b)² = a² - 2ab + b².

Exemplo 1

(2x - 6)² = (2x)² - 2 (2x _* 6) + 6²

(2x - 6)²= 4x² - 2 (12x) + 36

(2x - 6)² = 4x² - 24x + 36.

Produto de binômios conjugados

Dois binômios são conjugados quando os segundos termos de cada um têm sinais diferentes, ou seja, o primeiro é positivo e o segundo negativo ou vice-versa. É resolvido elevando ao quadrado cada monômio e subtraindo. Sua fórmula é a seguinte:

(a + b) _*(a - b)

Na figura a seguir desenvolve-se o produto de dois binômios conjugados, onde se observa que o resultado é uma diferença de quadrados.

Exemplo 1

(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a² + (-6ab) + (6 ab) + (-9b²)

(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a²- 9b².

Produto de dois binômios com um termo comum

É um dos produtos notáveis mais complexos e raramente usados, pois é uma multiplicação de dois binômios que possuem um termo comum. A regra afirma o seguinte:

O quadrado do termo comum.
Mais a soma dos termos que não são comuns e multiplique-os pelo termo comum.
Mais a soma da multiplicação dos termos que não são comuns.

É representado na fórmula: (x + a)_*(x + b) y é expandido conforme mostrado na imagem. O resultado é um trinômio quadrado não perfeito.

(x + 6)_*(x + 9) = x² + (6 + 9)_* x + (6 _*9)

(x + 6)_*(x + 9) = x²+ 15x + 54.

Existe a possibilidade de que o segundo termo (o termo diferente) seja negativo e sua fórmula seja a seguinte: (x + a)_*(x - b).

Exemplo 2

(7x + 4) _* (7x - 2) = (7x _*7x) + (4 - 2)_* 7x + (4 _* -2)

(7x + 4) _* (7x - 2) = 49x²+ (2)_*7x - 8

(7x + 4) _* (7x - 2) = 49x² + 14x - 8.

Também pode ser o caso de os dois termos diferentes serem negativos. Sua fórmula será: (x - a)_*(x - b).

Exemplo 3

(3b - 6) _* (3b - 5) = (3b _* 3b) + (-6 - 5)_* (3b) + (-6 _* -5)

(3b - 6) _* (3b - 5) = 9b² + (-11)_* (3b) + (30)

(3b - 6) _* (3b - 5) = 9b²- 33b + 30.

Polinômio quadrado

Neste caso, existem mais de dois termos e para desenvolvê-lo, cada um é elevado ao quadrado e adicionado junto com o dobro da multiplicação de um termo por outro; sua fórmula é: (a + b + c)² e o resultado da operação é um trinômio ao quadrado.

Exemplo 1

(3x + 2y + 4z)² = (3x)² + (2a)² + (4z)² + 2 (6xy + 12xz + 8yz)

(3x + 2y + 4z)² = 9x² + 4y²+ 16z² + 12xy + 24xz + 16yz.

Binomial ao cubo

É um produto extremamente complexo. Para desenvolvê-lo, o binômio é multiplicado pelo seu quadrado, da seguinte forma:

para. Para o binômio ao cubo de uma soma:

O cubo do primeiro termo, mais o triplo do quadrado do primeiro termo vezes o segundo.
Mais o triplo do primeiro termo, vezes o segundo ao quadrado.
Mais o cubo do segundo mandato.

(a + b)³ = (a + b) _*(a + b)²

(a + b)³ = (a + b) _* (para² + 2ab + b²)

(a + b)³ = a³ + 2a²b + ab² + ba² + 2ab² + b³

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.

Exemplo 1

(a + 3)³ = a³ + 3 (a)²_*(3) + 3 (a)_*(3)² + (3)³

(a + 3)³ = a³+ 3 (a)²_*(3) + 3 (a)_*(9) + 27

(a + 3)³ = a³+ 9 para² + 27 a + 27.

b. Para o binômio ao cubo de uma subtração:

O cubo do primeiro termo, menos três vezes o quadrado do primeiro termo vezes o segundo.
Mais o triplo do primeiro termo, vezes o segundo ao quadrado.
Menos o cubo do segundo termo.

(a - b)³ = (a - b) _*(a - b)²

(a - b)³ = (a - b) _* (para² - 2ab + b²)

(a - b)³ = a³ - 2ª²b + ab² - BA² + 2ab² - b³

(a - b)³ = para³ - 3ª²b + 3ab² - b³.

Exemplo 2

(b - 5)³ = b³ + 3 (b)²_*(-5) + 3 (b)_*(-5)² + (-5)³

(b - 5)³ = b³ + 3 (b)²_*(-5) + 3 (b)_*(25) -125

(b - 5)³ = b³- 15b² + 75b - 125.

Cubo de um trinômio

É desenvolvido multiplicando-o pelo seu quadrado. É um produto notável muito extenso porque você tem 3 termos ao cubo, mais três vezes cada termo ao quadrado, multiplicado por cada um dos termos, mais seis vezes o produto dos três termos. Visto de uma maneira melhor:

(a + b + c)³ = (a + b + c)_*(a + b + c)²

(a + b + c)³ = (a + b + c)_* (para² + b²+ c² + 2ab + 2ac + 2bc)

(a + b + c)³ = a³ + b³ + c³ + 3a²b + 3ab² + 3a²c + 3ac² + 3b²c + 3bc² + 6abc.

Exemplo 1

Exercícios resolvidos de produtos notáveis

Exercício 1

Expanda o seguinte binômio ao cubo: (4x - 6)³.

Solução

Lembrando que um binômio ao cubo é igual ao primeiro termo ao cubo, menos três vezes o quadrado do primeiro termo vezes o segundo; mais o triplo do primeiro termo, vezes o segundo ao quadrado, menos o cubo do segundo termo.

(4x - 6)³= (4x)³- 3 (4x)²(6) + 3 (4x) _*(6)² – (6)²

(4x - 6)³= 64x³ - 3 (16x²) (6) + 3 (4x)_* (36) – 36

(4x - 6)³= 64x³ - 288x² + 432x - 36.

Exercício 2

Desenvolva o seguinte binômio: (x + 3) (x + 8).

Solução

Existe um binômio onde existe um termo comum, que é xe o segundo termo é positivo. Para desenvolvê-lo, basta elevar ao quadrado o termo comum, mais a soma dos termos que não são comuns (3 e 8) e depois multiplicá-los pelo termo comum, mais a soma da multiplicação dos termos que não são comuns.

(x + 3) (x + 8) = x² + (3 + 8) x + (3_*8)

(x + 3) (x + 8) = x² + 11x + 24.

Referências

Angel, A. R. (2007). Álgebra elementar. Pearson Education,.
Arthur Goodman, L. H. (1996). Álgebra e trigonometria com geometria analítica. Pearson Education.
Das, S. (s.f.). Maths Plus 8. Reino Unido: Ratna Sagar.
Jerome E. Kaufmann, K. L. (2011). Álgebra Elementar e Intermediária: Uma Abordagem Combinada. Flórida: Cengage Learning.
Pérez, C. D. (2010). Pearson Education.