Propriedades de limite (com exemplos) - Ciência - 2023

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As propriedades de limite Eles são o conjunto de regras e procedimentos algébricos usados ​​para determiná-los. O conceito de limite é fundamental para o cálculo e encontrar seu valor não precisa ser uma tarefa complicada, desde que suas propriedades sejam manuseadas com facilidade.

Abaixo está uma lista dos mais importantes, acompanhada de exemplos de aplicação.

Sejam b, c, n, A e B números reais, e F Y g funções que verificam o seguinte:


Portanto, temos as seguintes propriedades:

1. Limite para substituição direta

No primeiro caso, o limite de uma função f quando x → c pode ser calculado substituindo x = c diretamente na função. Se a função existe em x = c, então o limite é:

Exemplo

Encontre o limite de f (x) = x2 quando x → 4

Solução

O limite é resolvido simplesmente substituindo x = 4 em f (x) = x2, uma vez que não há nenhum problema na realização da operação:

Se o limite de uma função f (x) quando x → c existe e é L, esse limite é único.


Portanto, os limites laterais, que são aqueles quando x → c– (leia "x tende para c da esquerda") e quando x → c+ (leia "x tende a c da direita"), ambos existem e têm o mesmo valor L, mesmo que a função não seja definida em x = c.

A animação mostra essa abordagem e o que acontece com a função nesse caso: se ela se aproxima de x = c da esquerda ou da direita, o valor da função, por sua vez, se aproxima de L.

Matematicamente, é expresso desta forma:

Exemplo

Calcule o limite de f (x) quando x → 1 se existir, onde f (x) é dado por:


Solução

Esta é uma função por partes ou por partes, consistindo na linha 4 -x para os valores de x <1 e a parábola 4 - x2 quando x é igual a 1 ou maior que 1.

Podemos aproximar x = 1 da esquerda, caso em que pegamos a parte da função que é válida para x <1:

Como os limites laterais são iguais, segue-se que o limite da função quando x → 1 existe e é igual a 3.

3. Limite de uma constante

O limite de uma constante é o valor da referida constante, independentemente do valor para o qual a variável tende:

Exemplo

Calcular:

4. Limite da função de identidade

Se f (x) = x, é verdade desde que:

Exemplo

Calcular:

5. Limite do produto de uma constante por uma função

Nesse caso, a constante sai do limite e passa a multiplicá-lo, assim:

Calcule, se houver, o seguinte limite:

A constante 5 é omitida multiplicando-se até o limite e a propriedade de substituição é aplicada:

6. Limite da soma

O limite da soma de duas funções F Y g é a soma dos limites:

Exemplo

Encontre o seguinte limite, se existir:

A propriedade da soma dos limites é aplicada primeiro e depois a de substituição direta, uma vez que as operações não apresentam dificuldade:

 7. Limite de subtração

No caso do limite da subtração de duas funções, procedemos da mesma forma que para a adição: o limite da subtração é a subtração dos limites:

Exemplo

Calcule o seguinte limite:

É aplicada a propriedade do limite de subtração de duas funções e depois a de substituição direta, uma vez que todas as operações podem ser realizadas sem problemas:

8. Limite de produto

O limite do produto de duas funções F Y g é o produto dos limites:

Calcule este limite:

Solução

9. Limite do quociente

O limite do quociente de duas funções F Y g é o quociente dos limites, desde que o limite de g (x) quando x → c seja diferente de 0, visto que a divisão por 0 não é definida. Então:

Exemplo

Calcule, se existir, o valor do seguinte limite:

No primeiro caso, é aplicada a propriedade do limite do quociente, para obter o quociente dos limites:

Agora, a propriedade de substituição é aplicada para encontrar cada limite:

E como B ≠ 0, o limite buscado é o quociente A / B:

10. Limite de uma potência

O limite de uma potência de expoente n, equivale ao limite elevado à referida potência, conforme segue:

Se tivermos, por exemplo, o limite de uma potência de x, resulta:

De acordo com a propriedade 4, esse limite é:

Caso 2: limite de uma raiz

Uma enésima raiz pode ser escrita como um expoente fracionário, portanto:

Importante: se o índice da raiz for par, é necessário que o limite de f (x) quando x → c for maior ou igual a 0, uma vez que não existem raízes reais pares de quantidades negativas.

Exemplos

Determine, aplicando as propriedades anteriores, os seguintes limites, caso existam:

Solução para

Através da propriedade do limite de uma potência e da substituição direta, obtemos:

Solução b

11. Limite de um exponencial

Para encontrar o limite de um exponencial com base b e expoente f (x), devemos elevar a base até o limite da função f (x) da seguinte forma:

Exemplo

Descubra se existe, o seguinte limite:

Neste limite a base é o número eea função f (x) = x2, portanto, devemos primeiro calcular o limite de x2 quando x tende a 1:

Em seguida, a propriedade do limite do exponencial é aplicada:

12. Limite da função potencial exponencial

O limite quando x → c de uma função f (x), que por sua vez é elevado a outra função g (x), é expresso por:

Exemplo

Calcule o seguinte limite, se existir:

Solução

Para aplicar a propriedade anterior, primeiro f (x) = x - 1 e g (x) = 2x são identificados e, em seguida, os respectivos limites são calculados:

  1. Ayres, F. 2000. Calculus. 5ed. Mc Graw Hill.
  2. Leithold, L. 1992. Calculus with Analytical Geometry. HARLA, S.A.
  3. Textos Livres de Matemática. Limites. Recuperado de: math.liibretexts.org.
  4. Matemobile. Leis e propriedades dos limites. Recuperado de: matemovil.com.
  5. Larson, R. 2010. Cálculo de uma variável. 9º. Edição. McGraw Hill.
  6. Purcell, E. J., Varberg, D., & Rigdon, S. E. (2007). Cálculo. México: Pearson Education.
  7. Fórmulas do universo. Propriedades de limite. Recuperado de: universoformulas.com