Matemática discreta: para que servem, teoria dos conjuntos - Ciência - 2023

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As matemática discreta Eles correspondem a uma área da matemática responsável por estudar o conjunto dos números naturais; isto é, o conjunto de números finitos e infinitos contáveis em que os elementos podem ser contados separadamente, um por um.

Esses conjuntos são conhecidos como conjuntos discretos; Um exemplo desses conjuntos são inteiros, gráficos ou expressões lógicas, e são aplicados em diferentes campos da ciência, principalmente em ciência da computação ou computação.

Descrição

Na matemática discreta, os processos são contáveis, eles são baseados em inteiros. Isso significa que não são usados números decimais e, portanto, não são usados aproximações ou limites, como em outras áreas. Por exemplo, um desconhecido pode ser igual a 5 ou 6, mas nunca 4,99 ou 5,9.

Por outro lado, na representação gráfica as variáveis serão discretas e serão dadas a partir de um conjunto finito de pontos, que são contados um a um, conforme mostrado na imagem:

A matemática discreta surge da necessidade de obter um estudo exato, que possa ser combinado e testado, para aplicá-lo em diferentes áreas.

Para que serve a matemática discreta?

A matemática discreta é usada em várias áreas. Entre os principais estão os seguintes:

Combinatorial

Estude conjuntos finitos onde os elementos podem ser ordenados ou combinados e contados.

Teoria da distribuição discreta

Estuda eventos que ocorrem em espaços onde as amostras podem ser contáveis, nos quais distribuições contínuas são usadas para aproximar distribuições discretas, ou o contrário.

Teoria da informação

Refere-se à codificação da informação, usada para o projeto, transmissão e armazenamento de dados, como sinais analógicos.

Informática

Por meio da matemática discreta, os problemas são resolvidos por meio de algoritmos, bem como o que pode ser calculado e o tempo que leva para fazê-lo (complexidade).

A importância da matemática discreta nesta área tem aumentado nas últimas décadas, especialmente para o desenvolvimento de linguagens de programação e Programas.

Criptografia

Ele se baseia em matemática discreta para criar estruturas de segurança ou métodos de criptografia. Um exemplo dessa aplicação são as senhas, enviando bits contendo informações separadamente.

Através do estudo das propriedades dos inteiros e dos números primos (teoria dos números), esses métodos de segurança podem ser criados ou destruídos.

Lógica

São utilizadas estruturas discretas, que geralmente formam um conjunto finito, para provar teoremas ou, por exemplo, verificar software.

Teoria dos grafos

Permite a resolução de problemas lógicos, utilizando nós e linhas que formam uma espécie de gráfico, conforme imagem a seguir:

É uma área intimamente ligada à matemática discreta porque as expressões algébricas são discretas. Através dela, circuitos eletrônicos, processadores, programação (álgebra booleana) e bancos de dados (álgebra relacional) são desenvolvidos.

Geometria

Estude as propriedades combinatórias de objetos geométricos, como cobertura plana. Por outro lado, a geometria computacional possibilita o desenvolvimento de problemas geométricos por meio da aplicação de algoritmos.

Teoria de conjuntos

Na matemática discreta, os conjuntos (contáveis finitos e infinitos) são o objetivo principal do estudo. A teoria dos conjuntos foi publicada por George Cantor, que mostrou que todos os conjuntos infinitos têm o mesmo tamanho.

Um conjunto é um agrupamento de elementos (números, coisas, animais e pessoas, entre outros) que estão bem definidos; ou seja, existe uma relação segundo a qual cada elemento pertence a um conjunto e é expresso, por exemplo, para ∈ A.

Na matemática, existem diferentes conjuntos que agrupam certos números de acordo com suas características. Assim, por exemplo, temos:

- Conjunto de números naturais N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,… + ∞}.

- Conjunto de inteiros E = {-∞…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,… + ∞}.

- Subconjunto de números racionais Q * = {-∞…, - ¼, - ½, 0, ¼, ½,… ∞}.

- Conjunto de números reais R = {-∞…, - ½, -1, 0, ½, 1,… ∞}.

Os conjuntos são nomeados com letras maiúsculas do alfabeto; enquanto os elementos são nomeados em letras minúsculas, entre colchetes ({}) e separados por vírgulas (,). Eles geralmente são representados em diagramas como Venn e Caroll, bem como computacionalmente.

Com operações básicas como união, interseção, complemento, diferença e produto cartesiano, os conjuntos e seus elementos são tratados a partir da relação de filiação.

Existem várias classes de conjuntos, as mais estudadas em matemática discreta são as seguintes:

Conjunto finito

É aquele que possui um número finito de elementos e que corresponde a um número natural. Então, por exemplo, A = {1, 2, 3,4} é um conjunto finito que tem 4 elementos.

Conjunto de contabilidade infinita

É aquele em que existe uma correspondência entre os elementos de um conjunto e os números naturais; isto é, de um elemento, todos os elementos de um conjunto podem ser listados sucessivamente.

Desta forma, cada elemento corresponderá a cada elemento do conjunto de números naturais. Por exemplo:

O conjunto de inteiros Z = {… -2, -1, 0, 1, 2…} pode ser listado como Z = {0, 1, -1, 2, -2…}. Desta forma, é possível fazer uma correspondência um a um entre os elementos de Z e os números naturais, conforme mostrado na imagem a seguir:

É um método utilizado para resolver problemas contínuos (modelos e equações) que devem ser convertidos em problemas discretos, nos quais a solução é conhecida com a aproximação da solução do problema contínuo.

Vista de outra forma, a discretização tenta extrair uma quantidade finita de um conjunto infinito de pontos; desta forma, uma unidade contínua é transformada em unidades individuais.

Geralmente este método é utilizado em análises numéricas, como por exemplo na solução de uma equação diferencial, por meio de uma função que é representada por uma quantidade finita de dados em seu domínio, mesmo quando ela é contínua.

Outro exemplo de discretização é seu uso para converter um sinal analógico em digital, quando unidades contínuas de sinal são convertidas em unidades individuais (são discretizadas), e então codificadas e quantizadas para obter um sinal digital.

Referências

Grimaldi, R. P. (1997). Matemática discreta e combinatória. Editorial Addison Wesley Iberoamericana.
Ferrando, V. Gregori. (novecentos e noventa e cinco). Matemática discreta. Reverte.
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Rosen, K. H. (2003). Matemática Discreta e suas aplicações. Editora McGraw-Hill.
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