Probabilidade clássica: cálculo, exemplos, exercícios resolvidos - Ciência - 2023

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o probabilidade clássica é um caso particular de cálculo da probabilidade de um evento. É definido como o quociente entre os eventos favoráveis ao referido evento e o número total de eventos possíveis, desde que cada um desses eventos seja igualmente provável. A probabilidade clássica também é conhecida como probabilidade a priori ou probabilidade teórica.

A vontade de antecipar faz parte da natureza humana em todos os momentos: todos nos perguntamos se vai chover no dia seguinte ou se um determinado time de futebol vai jogar na primeira divisão na próxima temporada ou não. Há evidências arqueológicas de que as pessoas jogavam jogos de azar há cerca de 40.000 anos.

No entanto, o primeiro livro sobre probabilidades é devido ao astrônomo holandês Christian Huygens que o chamouJustificativa relacionada ao jogo de dados. Como podemos ver, a probabilidade clássica tem sua origem nos jogos de azar.

O dado tem uma longa história, é uma peça cúbica cujas faces são numeradas com pontos de um a seis. Ao lançar um dado honesto apenas uma vez: qual é a probabilidade de que ele role, digamos, um cinco?

É muito simples: só existe uma face entre as 6 marcadas com cinco pontos, portanto a probabilidade P é:

P = 1/6

Cálculo em probabilidade clássica

Essa forma de calcular a probabilidade de um evento é uma aplicação da regra de Laplace, enunciada pela primeira vez em 1812 pelo matemático francês Pierre de Laplace (1749-1827).

Seja A um evento do qual queremos saber sua probabilidade de ocorrência P (A), então:

P (A) = número de casos favoráveis ao evento A / número de casos possíveis

O resultado desta operação é sempre um número positivo entre 0 e 1. Se um evento tem probabilidade 0, ele não acontecerá.

Por outro lado, se a probabilidade de ocorrência for igual a 1, significa que acontecerá de qualquer forma e em qualquer caso, a probabilidade de que um evento ocorra, somada à probabilidade de que não ocorra, é igual a 1:

Obviamente, em um dado legal, qualquer uma das 6 caras tem a mesma probabilidade de rolar, portanto, a probabilidade de obter uma cara com 5 deve ser 1/6.

Um detalhe importante é o seguinte: para aplicar a regra de Laplace, o número de casos possíveis deve ser finito, ou seja, devemos ser capazes de contá-los e obter um número natural.

No exemplo do dado, existem 6 casos possíveis e um único evento favorável. O conjunto de casos possíveis é chamado espaço amostral.

Ao aplicar a regra de Laplace, é conveniente analisar cuidadosamente o espaço amostral, incluindo todos os eventos possíveis, ou seja, deve estar completo e ordenado, para que nenhum evento escape de ser contado.

O espaço da amostra e eventos

O espaço amostral é geralmente denotado pela letra S ou pela letra grega Ω (ômega maiúsculo) e foi um conceito introduzido por Galileu.

Um jogador de dados perguntou ao sábio por que é mais difícil obter um 9 lançando três dados do que um 10, então Galileu calculou as maneiras possíveis de obter um 9 e então fez o mesmo com 10. Finalmente ele calculou as respectivas probabilidades, descobrindo que, de fato, P (9) <P (10).

Espaço de amostra com poucos elementos

Se o espaço amostral consiste em poucos elementos, eles são listados como um conjunto. Por exemplo, suponha que você queira encontrar a probabilidade de que, em uma família com dois filhos, ambos sejam do mesmo sexo.

Podemos aplicar a probabilidade clássica determinando corretamente o espaço amostral. Se M = feminino e H = masculino, o espaço amostral das crianças é:

S = {(M, M), (H, H), (M, H), (H, M)}

Cada elemento do espaço amostral é um evento, por exemplo, o evento (M, M) significa que os dois filhos desta família são mulheres.

Dado o espaço amostral, o cálculo da probabilidade solicitada é muito simples, pois existem apenas 2 casos favoráveis em 4, de forma que ambas as crianças são do mesmo sexo: (M, M) e (H, H), portanto:

P (ambas as crianças do mesmo sexo) = 2/4 = 0,5

Espaço de amostra com muitos elementos

Quando o espaço amostral consiste em muitos elementos, é melhor dar uma regra geral para encontrá-lo. Por exemplo, se t é a vida útil de um equipamento, o espaço amostral é:

S = {t∕t ≥ 0}

Que se lê assim: "todos os valores de t tais que t seja maior ou igual a 0". Um evento neste espaço pode ser que o aparelho tenha uma vida útil de t = 2 anos.

Exemplos de probabilidade clássica

A probabilidade clássica é aplicada desde que as duas premissas indicadas acima sejam atendidas, ou seja:

-Todos os eventos são igualmente prováveis.

-O espaço da amostra é finito.

Portanto, há situações em que a probabilidade clássica não pode ser aplicada, como quando se quer antecipar se um novo tratamento curará uma determinada doença ou a probabilidade de uma máquina produzir itens defeituosos.

Por outro lado, pode ser aplicado com sucesso nos seguintes casos:

Jogue um dado

Como vimos, a probabilidade de que certa cabeça apareça é igual a 1/6.

Compre uma carta de um baralho

Temos um baralho de 52 cartas de um baralho francês, composto por quatro naipes: copas, paus, ouros e espadas. Portanto, a probabilidade de tirar uma copa, sabendo que existem 13 cartas de cada naipe é:

P (coração) = 13/52

Jogar uma moeda

Este é um exemplo típico de probabilidade clássica, uma vez que, ao jogar uma moeda, há sempre uma probabilidade igual a ½ de obter cara ou coroa.

Extraia bolinhas coloridas de uma bolsa

Dentro de um saco pode haver N bolinhas coloridas, por exemplo, há R bolinhas vermelhas, A azuis e V verdes. A probabilidade de desenhar um vermelho é:

P (R) = R / N

Exercícios resolvidos

- Exercício 1

Um dado honesto é lançado uma vez. Calcule as seguintes probabilidades:

a) Obtenha um número ímpar.

b) Jogue 2 ou 5.

c) Considere um valor inferior a 4.

d) Obtenha um valor menor ou igual a 4.

e) Pegue um valor diferente de 3

Solução para

O espaço amostral é S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, os valores ímpares são 1, 3 e 5, portanto, de 6 casos possíveis, há três casos favoráveis:

P (ímpar) = 3/6 = 1/2 = 0,5

Solução b

Queremos extrair um 2 ou um 5, ou seja, qualquer um desses casos é favorável, portanto:

P (2 ou 5) = 2/6 = 1/3 = 0,33

Solução c

Neste caso, existem 3 eventos favoráveis: rolamento 1, 2 ou 3:

P (menos de 4) = 3/6 = ½ = 0,5

Solução d

Aqui está um evento favorável adicional, porque eles nos pedem os valores menor ou igual a 4, tão:

P (valor menor ou igual a 4) = 4/6 = 2/3 = 0,67

Solução e

Um lançamento diferente de 3 significa que qualquer um dos outros valores saiu:

- Exercício 2

Em uma caixa há uma bola azul, uma verde, uma vermelha, uma amarela e uma preta. Qual é a probabilidade de que, ao retirar uma bola da caixa com os olhos fechados, ela seja amarela?

Solução

O evento "E" consiste em retirar uma bola da caixa com os olhos fechados (se for feito com os olhos abertos a probabilidade é 1) e que seja amarela.

Existe apenas um caso favorável, visto que existe apenas uma bola amarela. Os casos possíveis são 5, pois há 5 bolas na caixa.

Portanto, a probabilidade do evento “E” é igual a P (E) = 1/5.

Como pode ser visto, se o evento for tirar uma bola azul, verde, vermelha ou preta, a probabilidade também será igual a 1/5. Portanto, este é um exemplo de probabilidade clássica.

Observação

Se houvesse 2 bolas amarelas na caixa então P (E) = 2/6 = 1/3, enquanto a probabilidade de tirar uma bola azul, verde, vermelha ou preta seria igual a 1/6.

Visto que nem todos os eventos têm a mesma probabilidade, este não é um exemplo de probabilidade clássica.

- Exercício 3

Qual é a probabilidade de que, ao lançar um dado, o resultado obtido seja igual a 5?

Solução

Um dado tem 6 faces, cada uma com um número diferente (1,2,3,4,5,6). Portanto, existem 6 casos possíveis e apenas um caso é favorável.

Portanto, a probabilidade de que, ao lançar o dado, 5 seja igual a 1/6.

Novamente, a probabilidade de obter qualquer outro lançamento no dado também é de 1/6.

- Exercício 4

Em uma sala de aula há 8 meninos e 8 meninas. Se a professora seleciona aleatoriamente um aluno de sua sala de aula, qual é a probabilidade de o aluno escolhido ser uma menina?

Solução

O evento “E” está escolhendo aleatoriamente um aluno. No total são 16 alunos, mas como você quer escolher uma garota, são 8 casos favoráveis. Portanto, P (E) = 8/16 = 1/2.

Também neste exemplo, a probabilidade de escolher um filho é 8/16 = 1/2.

Em outras palavras, é provável que o aluno escolhido seja uma menina ou um menino.

Referências

Agosto, A. Probability. Universidade de Porto Rico. Recuperado de: docs.uprb.edu.
Galindo, E. 2011. Estatística: métodos e aplicações. Prociencia Editores.
Jiménez, R. 2010. Mathematics II. 2ª Edição. Prentice Hall.
Triola, M. 2012. Elementary Statistics. 11º. Edição. Addison Wesley.
Sangaku Maths. Regra de Laplace. Recuperado de: sangakoo.com.