Transformações Isométricas: Composição, Tipos e Exemplos - Ciência - 2023

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As transformações isométricas São mudanças na posição ou orientação de uma determinada figura que não alteram sua forma ou tamanho. Essas transformações são classificadas em três tipos: translação, rotação e reflexão (isometria). Em geral, as transformações geométricas permitem que você crie uma nova figura a partir de uma determinada figura.

A transformação em figura geométrica significa que, de alguma forma, sofreu alguma mudança; ou seja, foi alterado. De acordo com o sentido do original e do similar no plano, as transformações geométricas podem ser classificadas em três tipos: isométricas, isomórficas e anamórficas.

Caracteristicas

As transformações isométricas ocorrem quando as magnitudes dos segmentos e os ângulos entre a figura original e a figura transformada são preservados.

Nesse tipo de transformação, nem a forma nem o tamanho da figura se alteram (são congruentes), é apenas uma mudança de posição, seja na orientação, seja na direção. Desta forma, as figuras inicial e final serão semelhantes e geometricamente congruentes.

Isometria refere-se à igualdade; ou seja, as figuras geométricas serão isométricas se tiverem a mesma forma e tamanho.

Nas transformações isométricas, a única coisa que se observa é uma mudança de posição no plano, ocorre um movimento rígido graças ao qual a figura vai de uma posição inicial a uma final. Esta figura é denominada homóloga (semelhante) do original.

Existem três tipos de movimentos que classificam uma transformação isométrica: translação, rotação e reflexão ou simetria.

Tipos

Por tradução

São aquelas isometrias que permitem que todos os pontos do plano sejam movidos em linha reta em uma determinada direção e distância.

Quando uma figura é transformada por translação, ela não muda sua orientação em relação à posição inicial, nem perde suas medidas internas, as medidas de seus ângulos e lados. Este tipo de deslocamento é definido por três parâmetros:

- Uma direção, que pode ser horizontal, vertical ou oblíqua.

- Uma direção, que pode ser para a esquerda, direita, para cima ou para baixo.

- Distância ou magnitude, que é o comprimento da posição inicial até o final de qualquer ponto que se move.

Para que uma transformação isométrica por translação seja cumprida, as seguintes condições devem ser atendidas:

- A figura deve sempre manter todas as suas dimensões, tanto lineares quanto angulares.

- A figura não muda de posição em relação ao eixo horizontal; isto é, seu ângulo nunca varia.

- As traduções serão sempre resumidas em uma, independentemente do número de traduções feitas.

Em um plano onde o centro é um ponto O, com coordenadas (0,0), a translação é definida por um vetor T (a, b), que indica o deslocamento do ponto inicial. Quer dizer:

P (x, y) + T (a, b) = P ’(x + a, y + b)

Por exemplo, se o ponto das coordenadas P (8, -2) é aplicada uma translação T (-4, 7), obtemos:

P (8, -2) + T (-4, 7) = P ’[(8 + (-4)), ((-2) + 7)] = P’ (4, 5)

Na imagem seguinte (à esquerda) pode-se ver como o ponto C se moveu para coincidir com D. Fez isso na direção vertical, a direção era para cima e a distância ou magnitude CD era de 8 metros. Na imagem da direita a translação de um triângulo é observada:

Por rotação

São aquelas isometrias que permitem que a figura gire todos os pontos de um plano. Cada ponto gira seguindo um arco que tem um ângulo constante e um ponto fixo (centro de rotação).

Ou seja, toda rotação será definida por seu centro de rotação e ângulo de rotação. Quando uma figura é transformada por rotação, ela mantém a medida de seus ângulos e lados.

A rotação ocorre em um determinado sentido, é positiva quando a rotação é no sentido anti-horário (anti-horário) e negativa quando a rotação é no sentido horário.

Se um ponto (x, y) é girado em relação à origem - ou seja, seu centro de rotação é (0,0) -, por um ângulo de 90^ou para 360^ou as coordenadas dos pontos serão:

No caso em que a rotação não tem centro na origem, a origem do sistema de coordenadas deve ser transferida para a nova origem dada, a fim de poder girar a figura tendo a origem como centro.

Por exemplo, se o ponto P (-5,2) é girado 90^ou, ao redor da origem e em direção positiva, suas novas coordenadas serão (-2,5).

Por reflexão ou simetria

São aquelas transformações que invertem os pontos e as figuras do plano. Essa inversão pode ser em relação a um ponto ou também pode ser em relação a uma linha.

Em outras palavras, neste tipo de transformação cada ponto da figura original é associado a outro ponto (imagem) da figura homóloga, de forma que o ponto e sua imagem fiquem à mesma distância de uma linha chamada eixo de simetria. .

Assim, a parte esquerda da figura será um reflexo da parte direita, sem alterar sua forma ou dimensões. A simetria transforma uma figura em igual, embora ao contrário, como pode ser visto na imagem a seguir:

A simetria está presente em muitos aspectos, como em algumas plantas (girassóis), animais (pavão) e fenômenos naturais (flocos de neve). O ser humano reflete isso em seu rosto, o que é considerado um fator de beleza. A reflexão ou simetria podem ser de dois tipos:

Simetria central

É aquela transformação que ocorre em relação a um ponto, no qual a figura pode mudar sua orientação. Cada ponto da figura original e sua imagem estão à mesma distância de um ponto O, denominado centro de simetria. A simetria é fundamental quando:

- Tanto o ponto como sua imagem e centro pertencem à mesma linha.

- Com uma rotação de 180^ou centro O, um número igual ao original é obtido.

- As linhas da figura inicial são paralelas às linhas da figura formada.

- O sentido da figura não muda, será sempre no sentido horário.

Essa transformação ocorre em relação ao eixo de simetria, onde cada ponto da figura inicial está associado a outro ponto da imagem e estes estão à mesma distância do eixo de simetria. A simetria é axial quando:

- O segmento que une um ponto com sua imagem é perpendicular ao seu eixo de simetria.

- As figuras mudam de direção em relação à rotação ou no sentido horário.

- Ao dividir a figura com uma linha central (eixo de simetria), uma das metades resultantes coincide completamente com a outra das metades.

Composição

Uma composição de transformações isométricas refere-se à aplicação sucessiva de transformações isométricas na mesma figura.

Composição de uma tradução

A composição de duas traduções resulta em outra tradução. Quando executado no plano, no eixo horizontal (x) apenas as coordenadas daquele eixo mudam, enquanto as coordenadas do eixo vertical (y) permanecem as mesmas, e vice-versa.

Composição de uma rotação

A composição de duas voltas com o mesmo centro resulta em outra volta, que tem o mesmo centro e cuja amplitude será a soma das amplitudes das duas voltas.

Se o centro das curvas tiver um centro diferente, o corte da bissetriz de dois segmentos com pontos semelhantes será o centro da curva.

Composição de uma simetria

Nesse caso, a composição vai depender de como é aplicada:

- Se a mesma simetria for aplicada duas vezes, o resultado será uma identidade.

- Se duas simetrias forem aplicadas em relação a dois eixos paralelos, o resultado será uma translação, e seu deslocamento será o dobro da distância desses eixos:

- Se duas simetrias forem aplicadas em relação a dois eixos que se cruzam no ponto O (centro), uma rotação com centro em O será obtida e seu ângulo será o dobro do ângulo formado pelos eixos:

Referências

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