Ondas tridimensionais: conceito, tipos e exemplos - Ciência - 2023

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Estão ondas tridimensionais aqueles que se propagam no espaço, por exemplo, a onda sonora produzida por um alto-falante. Essa onda se propaga em todas as direções, embora não com a mesma intensidade em todas elas.

Se uma perturbação ocorre em um ponto no espaço, então ela se propaga nas três direções espaciais, sendo as frentes de onda superfícies fechadas, esféricas, elípticas ou de algum outro tipo.

Por outro lado, se o local de origem das ondas, ou seja, a fonte, tiver uma distribuição plana, então a perturbação se deslocará principalmente na direção perpendicular a esse plano, formando frentes de onda planas.

Tipos de ondas tridimensionais

Em ondas tridimensionais, as frentes de onda são um conjunto de superfícies imersas no espaço tridimensional.

Já a frente de onda é o locus dos pontos no espaço que são atingidos pela perturbação inicial, no mesmo instante de tempo.

Normalmente são considerados três tipos de ondas que viajam no espaço tridimensional, de acordo com a simetria da frente de onda: ondas planas, ondas cilíndricas e ondas esféricas. No entanto, as ondas reais nem sempre pertencem a esses tipos, pois elas não possuem um alto grau de simetria.

Ondas planas

Uma onda plana viajando na direção x positiva com velocidade v é funcionalmente representada como:

g (x, t) = f (x - v⋅t)

Esta onda não está limitada ao eixo x, mas também se estende nas direções Y Y z. Mas a forma funcional nos diz que todos os pontos que têm a mesma coordenada x, independentemente das coordenadas (z, y), têm o mesmo valor de g.

Neste caso, as frentes de onda são planos paralelos ao plano z-y que avançam rapidamente v, o que significa que a onda plana ocupa todo o espaço tridimensional.

A expressão que representa uma onda plana se propagando em qualquer direção û rapidamente v, Onde û representa um vetor unitário de cossenos diretores cos (α), cos (β) Y cos (γ), isto é:

g = f (û • r - v⋅t) = f (x cos (α) + y cos (β) + z cos (γ) - v⋅t)

É fácil mostrar, por substituição direta, que a expressão anterior é uma solução da equação de onda tridimensional, uma equação em derivadas parciais de segunda ordem linear:

∂_xxg + ∂_yyg + ∂_zzg = (1 / v²) ∂_ttg

A equação acima pode ser escrita de forma mais compacta usando o operador Laplaciano ∇²:

∇²g = (1 / v²) ∂_ttg

Ondas cilíndricas

Quando a perturbação inicial é distribuída em uma linha reta, a onda se propaga na direção radial perpendicular a essa linha, preenchendo o espaço tridimensional circundante com frentes de onda cilíndricas.

Ondas esféricas

Quando a fonte é um ponto e o meio no qual a onda tridimensional se propaga é homogêneo e isotrópico (suas propriedades não mudam de acordo com a direção), então as frentes de onda são esferas concêntricas ao ponto onde ocorreu a perturbação inicial.

No caso de uma onda esférica em que a intensidade da onda é idêntica em todas as direções, a função que descreve a perturbação depende apenas da distância r ao ponto de origem e tempo t.

Neste caso, temos que o Laplaciano correspondente é:

∇²g = (1 / r²)∂_r(r² ∂_rg)

Sendo a equação da onda:

∇²g = (1 / v²) ∂_ttg

A solução geral seria:

g (r, t) = (1 / r) F (r - v⋅t) + (1 / r) G (r + v⋅t)

Neste caso, é dito que é um onda esférica. Mas pode haver variantes, como será visto a seguir

Ondas esféricas não isotrópicas

Também pode acontecer que uma onda esférica, ou seja, com as frentes de onda formadas por esferas concêntricas a um ponto central, a amplitude ou intensidade da onda seja diferente nas diferentes direções.

Isso é o que acontece quando a fonte central da onda é mais eficiente em uma direção do que em outras.

Por exemplo, o som produzido por um alto-falante não tem a mesma intensidade em todos os lugares, mesmo em pontos equidistantes do alto-falante.

A intensidade não é a mesma, mesmo que o sinal demore o mesmo tempo para atingir esses pontos. É uma onda esférica que possui um padrão direcional não esférico.

Você também tem ondas esféricas no caso de ondas eletromagnéticas criadas por uma antena, mas elas podem não ser igualmente fortes em todas as direções.

Meio não homogêneo

Quando o meio não é homogêneo, a velocidade de propagação da onda é diferente em diferentes direções.

Um exemplo de meio não homogêneo é a atmosfera na qual existem diferenças de pressão com a altura e gradientes de temperatura. Outro exemplo são os estratos da crosta terrestre, que diferem em densidade e módulo de elasticidade.

A não homogeneidade faz com que as frentes de onda originadas de uma fonte central não sejam esferas concêntricas, uma vez que a distância percorrida pela onda, no mesmo período de tempo, é diferente em cada direção.

Portanto, você tem uma onda tridimensional cuja frente de onda não é esférica.

Intensidade e energia de uma onda esférica

Podemos escrever a expressão de uma onda harmônica esférica como esta:

g (r, t) = (g_ou / r) cos (k⋅r - ω⋅t)

Onde as frentes de onda se propagam com velocidade radial igual a:

v = ω / k

E sua amplitude diminui com o inverso da distância r da fonte pontual das ondas esféricas.

Ondas harmônicas têm densidade de energia (energia por unidade de volume)ε dado por:

ε = ½ ρ ω² (g_ou / r)²

Nesta equação:

–ρ Tem unidades de massa por unidade de volume e representa a densidade do meio onde uma onda sonora se propaga.

-g_ou é a amplitude do deslocamento de um elemento do meio, por exemplo um fluido, devido à onda de propagação.

Deve-se notar que, por ser uma onda esférica, a densidade de energia diminui com o inverso do quadrado da distância.

A intensidade da onda, ou seja, a energia transmitida por unidade de tempo é:

I = v⋅ε

Como sempre, na prática, a quantidade mais importante é a potência transmitida por unidade de área à distância radial. r:

P = v⋅ε = I_ou / r²

Ser Eu_ou = ½ ρ v ω² g_ou².

A energia total transmitida por unidade de tempo através de uma esfera de raio r é: P⋅4πr²= 4π⋅I_ou, e como esperado, não depende da distância radial.

Exemplos de ondas tridimensionais

As ondas tridimensionais são muito frequentes, por isso temos:

Antenas emissoras de ondas eletromagnéticas

Eles cobrem um espectro muito amplo, desde ondas de rádio entre centenas de KHz e centenas de MHz, até as ondas emitidas pela antena do Wi-fi na ordem de GHz, que já cai na faixa de microondas.

Sabemos que as microondas, embora não sejam radiações ionizantes, são capazes de aumentar a temperatura do corpo por conterem muita água.

Portanto, não é recomendável ter a antena Wi-Fi perto da cabeça ou do corpo. Basta afastarmo-nos um pouco, pois ao dobro da distância a intensidade é a quarta parte.

Ondas sísmicas

Eles também são ondas tridimensionais. Principalmente há o tipo P o que são ondas de compressão e aquelas do tipo S quais são o corte ou cisalhamento (souvir em inglês).

As ondas P ou primários são os primeiros a chegar porque se propagam mais rápido do que as ondas S ou secundário.

O som

O som é um tipo de onda tridimensional. Essas ondas se propagam em todas as direções, embora, como já dissemos, não com a mesma intensidade em todas as direções.

Isso ocorre porque a fonte de som nem sempre emite com simetria perfeitamente esférica.

Referências

Baranek, L. 1969. Acoustics. 2ª Edição. McGraw Hill.
Griffiths G. Ondas Lineares e Não Lineares. Recuperado de: scholarpedia.org.
Nottoli, H. 2004. Física aplicada à arquitetura. Nobuko.
Whitham G.B. 1999. Ondas lineares e não lineares. Wiley.
Wikiwaves. Ondas não lineares. Recuperado de: wikiwaves.org