Modelo atômico de Dirac Jordan: características e postulados - Ciência - 2023

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o Modelo atômico de Dirac-Jordan é a generalização relativística do operador hamiltoniano na equação que descreve a função de onda quântica do elétron. Diferentemente do modelo anterior, de Schrõdinger, não é necessário impor o spin pelo princípio de exclusão de Pauli, pois ele aparece naturalmente.

Além disso, o modelo de Dirac-Jordan incorpora correções relativísticas, a interação spin-órbita e o termo Darwin, que explicam a estrutura fina dos níveis eletrônicos do átomo.

A partir de 1928, os cientistas Paul A. M. Dirac (1902-1984) e Pascual Jordan (1902-1980), começaram a generalizar a mecânica quântica desenvolvida por Schrodinger, para incluir as correções de Einstein para a relatividade especial.

Dirac parte da equação de Schrodinger, que consiste em um operador diferencial, chamado Hamiltoniano, que opera em uma função conhecida como a função de onda de elétrons. No entanto, Schrõdinger não levou em consideração os efeitos relativísticos.

As soluções da função de onda nos permitem calcular as regiões onde com certo grau de probabilidade o elétron se encontrará ao redor do núcleo. Essas regiões ou zonas são chamadas orbital e eles dependem de certos números quânticos discretos, que definem a energia e o momento angular do elétron.

Postulados

Nas teorias da mecânica quântica, sejam elas relativísticas ou não, não existe o conceito de órbitas, uma vez que nem a posição nem a velocidade do elétron podem ser especificadas simultaneamente. Além disso, a especificação de uma das variáveis leva à imprecisão total da outra.

Por sua vez, o hamiltoniano é um operador matemático que atua na função de onda quântica e é construído a partir da energia do elétron. Por exemplo, um elétron livre tem energia total E, que depende de seu momento linear p desta forma:

E = (p²) / 2m

Para construir o hamiltoniano, começamos com esta expressão e substituímos p pelo operador quântico para momentum:

p = -i ħ ∂ / ∂r

É importante observar que os termos p Y p são diferentes, pois o primeiro é o momento e o outro é o operador diferencial associado com momentum.

Além disso, i é a unidade imaginária e ħ a constante de Planck dividida por 2π, desta forma obtemos o operador hamiltoniano H do elétron livre:

H = (ħ²/ 2m) ∂² /∂r²

Para encontrar o hamiltoniano do elétron no átomo, adicione a interação do elétron com o núcleo:

H = (ħ2 / 2m) ∂² /∂r² - eΦ (r)

Na expressão anterior -e é a carga elétrica do elétron e Φ (r) o potencial eletrostático produzido pelo núcleo central.

Agora, o operador H atua na função de onda ψ de acordo com a equação de Schrodinger, que é escrita assim:

H ψ = (i ħ ∂ / ∂t) ψ

Quatro postulados de Dirac

Primeiro postulado: a equação de onda relativística tem a mesma estrutura que a equação de onda de Schrodinger, o que muda é o H:

H ψ = (i ħ ∂ / ∂t) ψ

Segundo postulado: O operador hamiltoniano é construído a partir da relação energia-momento de Einstein, que é escrita da seguinte forma:

E = (m² c⁴ + p² c²)^1/2

Na relação anterior, se a partícula tem momento p = 0 então temos a famosa equação E = mc² que relaciona a energia de repouso de qualquer partícula de massa m à velocidade da luz c.

Terceiro postulado: para obter o operador hamiltoniano, a mesma regra de quantização usada na equação de Schrodinger é usada:

p = -i ħ ∂ / ∂r

No início, não estava claro como lidar com esse operador diferencial atuando dentro de uma raiz quadrada, então Dirac começou a obter um operador hamiltoniano linear no operador de momento e daí surgiu seu quarto postulado.

Quarto postulado: para se livrar da raiz quadrada na fórmula da energia relativística, Dirac propôs a seguinte estrutura para E²:

Claro, é necessário determinar os coeficientes alfa (α0, α1, α2, α3) para que isso seja verdade.

Equação de Dirac

Em sua forma compacta, a equação de Dirac é considerada uma das mais belas equações matemáticas do mundo:

E é então que se torna evidente que os alfas constantes não podem ser quantidades escalares. A única maneira que a igualdade do quarto postulado é satisfeita é que eles são matrizes constantes 4 × 4, que são conhecidas como Matrizes de Dirac:

É imediatamente observado que a função de onda deixa de ser uma função escalar e se torna um vetor de quatro componentes denominado spinor:

O átomo de Dirac-Jordan

Para se obter o modelo atômico, é necessário ir da equação do elétron livre à do elétron no campo eletromagnético produzido pelo núcleo atômico. Esta interação é levada em consideração incorporando o potencial escalar Φ e o potencial vetorial PARA no hamiltoniano:

A função de onda (spinor) que resulta da incorporação deste hamiltoniano tem as seguintes características:

- Preenche a relatividade especial, pois leva em consideração a energia intrínseca do elétron (primeiro termo do hamiltoniano relativístico)

- Possui quatro soluções correspondentes aos quatro componentes do spinor

- As duas primeiras soluções correspondem uma a spin + ½ e a outra a spin - ½

- Por fim, as outras duas soluções prevêem a existência de antimatéria, pois correspondem à de pósitrons com spins opostos.

A grande vantagem da equação de Dirac é que as correções para o Hamiltoniano H (o) de Schrodinger básico podem ser divididas em vários termos que mostraremos a seguir:

Na expressão anterior V é o potencial escalar, uma vez que o potencial vetorial PARA é nulo se o próton central é considerado estacionário e, portanto, não aparece.

A razão pela qual as correções de Dirac para as soluções de Schrodinger na função de onda são sutis. Eles surgem do fato de que os três últimos termos do hamiltoniano corrigido são todos divididos pela velocidade c da luz ao quadrado, um número enorme, o que torna esses termos numericamente pequenos.

Correções relativísticas para o espectro de energia

Usando a equação de Dirac-Jordan, encontramos as correções do espectro de energia do elétron no átomo de hidrogênio. Correções de energia em átomos com mais de um elétron na forma aproximada também são encontradas por meio de uma metodologia conhecida como teoria de perturbação.

Da mesma forma, o modelo de Dirac nos permite encontrar a correção da estrutura fina nos níveis de energia do hidrogênio.

No entanto, correções ainda mais sutis, como a estrutura hiperfina e o deslocamento de Lamb, são obtidas a partir de modelos mais avançados, como teoria quântica de campo, que nasceu justamente pelas contribuições do modelo Dirac.

A figura a seguir mostra como são as correções relativísticas de Dirac para os níveis de energia:

Por exemplo, as soluções para a equação de Dirac prevêem corretamente uma mudança observada no nível 2s. É a correção de estrutura fina bem conhecida na linha Lyman-alfa do espectro do hidrogênio (veja a figura 3).

Aliás, a estrutura fina é o nome dado em física atômica à duplicação das linhas do espectro de emissão dos átomos, que é uma consequência direta do spin eletrônico.

Artigos de interesse

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Referências

Teoria atômica. Recuperado de wikipedia.org.
Momento magnético do elétron. Recuperado de wikipedia.org.
Quanta: um manual de conceitos. (1974). Imprensa da Universidade de Oxford. Recuperado da Wikipedia.org.
Modelo atômico de Dirac Jordan. Recuperado de prezi.com.
O Novo Universo Quântico. Cambridge University Press. Recuperado da Wikipedia.org.