Função subjetiva: definição, propriedades, exemplos - Ciência - 2023

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Função subjetiva: definição, propriedades, exemplos - Ciência
Função subjetiva: definição, propriedades, exemplos - Ciência

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UMA função sobrejetiva é qualquer relacionamento em que cada elemento pertencente ao codomínio é uma imagem de pelo menos um elemento do domínio. Também conhecido como função em, fazem parte da classificação de funções no que diz respeito à forma como seus elementos estão relacionados.

Por exemplo, uma função F: A → B definido por F (x) = 2x

Que lê "F A respeito PARA até B definido por F (x) = 2x "

Você tem que definir os conjuntos de partida e chegada A e B.

A: {1, 2, 3, 4, 5} Agora, os valores ou imagens que cada um desses elementos produzirá quando avaliados em F, serão os elementos do codomínio.

F (1) = 2

F (2) = 4

F (3) = 6

F (4) = 8

F (5) = 10

Formando assim o todo B: {2, 4, 6, 8, 10}


Conclui-se então que:

F: { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 }  → { 2 , 4 , 6 , 8 , 10 } definido por F (x) = 2x é uma função sobrejetiva

Cada elemento do codomínio deve resultar de pelo menos uma operação da variável independente por meio da função em questão. Não há limitação de imagens, um elemento do codomínio pode ser uma imagem de mais de um elemento do domínio e ainda tentando um função sobrejetiva.

A imagem mostra 2 exemplos com funções sobrejetivas.

Na primeira observa-se que as imagens podem ser referidas ao mesmo elemento, sem comprometer o sobrejetividade da função.

No segundo, vemos uma distribuição equitativa entre domínio e imagens. Isso dá origem a função bijetiva, onde os critérios de função injetiva e função sobrejetiva.


Outro método de identificação funções sobrejetivas, é verificar se o codomínio é igual ao intervalo da função. Isso significa que se o conjunto de chegada for igual às imagens fornecidas pela função ao avaliar a variável independente, a função é sobrejetora.

Propriedades

Considerar sobrejetiva para uma função, o seguinte deve ser cumprido:

Estar F: DF → CF

∀ b ℮ CF E para ℮ DF / F (a) = b

Esta é a maneira algébrica de estabelecer que para todo "b" que pertence a CF há um “a” que pertence a DF de forma que, a função F avaliada em "a" é igual a "b".

Surjetividade é uma característica das funções, onde o codomínio e o intervalo são semelhantes. Assim, os elementos avaliados na função compõem o conjunto de chegada.


Condicionamento de função

Às vezes, uma função que não é sobrejetiva, podem estar sujeitos a certas condições. Essas novas condições podem torná-lo um função sobrejetiva.

Todos os tipos de modificações no domínio e no codomínio da função são válidos, onde o objetivo é cumprir as propriedades de sobrejetividade na relação correspondente. 

Exemplos: exercícios resolvidos

Para atender às condições de sobrejetividade Diferentes técnicas de condicionamento devem ser aplicadas, a fim de garantir que cada elemento do codomínio esteja dentro do conjunto de imagens da função.

Exercício 1

  • Deixe a função F: R → R definido pela linha F (x) = 8 - x

R: [Todos os números reais]

Neste caso, a função descreve uma linha contínua, que inclui todos os números reais em seu domínio e intervalo. Porque o alcance da função RF é igual ao codomínio R Pode-se concluir que:

F: R → R definido pela linha F (x) = 8 - x é uma função sobrejetiva.

Isso se aplica a todas as funções lineares (funções cujo maior grau da variável é um).

Exercício 2

  • Estude a função F: R → R definido por F (x) = x2 : Defina se é um função sobrejetiva. Caso contrário, mostre as condições necessárias para torná-la sobrejetora.

A primeira coisa a ter em mente é o codomínio de F, que é composto de números reais R. Não há como a função retornar valores negativos, o que exclui os negativos reais das imagens possíveis.

Condicionando o codomínio para o intervalo [0, ∞ ] É evitado deixar elementos do codomínio não relacionados por meio de F.

As imagens são repetidas para pares de elementos da variável independente, como x = 1 Y x = - 1. Mas isso só afeta o injetividade da função, não sendo um problema para este estudo.

Desta forma, pode-se concluir que:

F: R →[ 0 , ∞ ) definido por F (x) = x2    É uma função sobrejetiva

Exercício 3

  • Defina as condições do codomínio que sobrejetivas para funções

F: R → R definido por F (x) = Sen (x)

F: R → R definido por F (x) = Cos (x)

O comportamento das funções trigonométricas é semelhante ao das ondas, sendo muito comum encontrar repetições da variável dependente entre as imagens. Além disso, na maioria dos casos, o alcance da função é limitado a um ou mais setores da linha real.

É o caso das funções Seno e Cosseno. Onde seus valores flutuam no intervalo [-1, 1]. Esse intervalo deve condicionar o codomínio para atingir a sobrejetividade da função.

F: R →[ -1 , 1 ] definido por F (x) = Sen (x) É uma função sobrejetiva

F: R →[ -1 , 1 ]  definido por F (x) = Cos (x) É uma função sobrejetiva

Exercício 4

  • Estude a função

F: [0, ∞ ) → R definido por F (x) = ± √x    denote se é um função sobrejetiva

 

 

A função F (x) = ± √x Tem a particularidade de definir 2 variáveis ​​dependentes para cada valor de "x". Ou seja, o intervalo recebe 2 elementos para cada um que é feito no domínio. Um valor positivo e negativo deve ser verificado para cada valor de "x".

Ao observar o conjunto inicial, nota-se que o domínio já foi restringido, isso para evitar as indeterminações produzidas ao avaliar um número negativo dentro de uma raiz par.

Ao verificar o intervalo da função, nota-se que cada valor do codomínio pertence ao intervalo.

Desta forma, pode-se concluir que:

F: [0, ∞ ) → R definido por F (x) = ± √x É uma função sobrejetiva

Exercício 4

  • Estude a função F (x) = Ln x denote se é um função sobrejetiva. Condicione os conjuntos de chegada e partida para adequar a função aos critérios de sobrejetividade.

Conforme mostrado no gráfico, a função F (x) = Ln x é definido para valores de "x" maiores que zero. Enquanto os valores de "e" ou as imagens podem assumir qualquer valor real.

Desta forma, podemos restringir o domínio de F (x) = para intervalo (0,∞ )

Desde que o intervalo da função possa ser mantido como o conjunto de números reais R.

 Diante disso, pode-se concluir que:

F: [0, ∞ ) → R definido por F (x) = Ln x É uma função sobrejetiva

Exercício 5

  • Estude a função de valor absoluto F (x) = | x | e designar os conjuntos de chegada e partida que atendam aos critérios de sobrejetividade.

 

O domínio da função vale para todos os números reais R. Desta forma, o único condicionamento deve ser realizado no codomínio, levando em consideração que a função de valor absoluto assume apenas valores positivos.

Prosseguimos para estabelecer o codomínio da função igualando-o ao posto da mesma

[ 0 , ∞ )

Agora pode-se concluir que:

F: [0, ∞ ) → R definido por F (x) = | x | É uma função sobrejetiva

Exercícios propostos

  1. Verifique se as seguintes funções são sobrejetivas:
  • F: (0, ∞) → R definido por F (x) = Log (x + 1)
  • F: R → R definido por F (x) = x3
  • F: R →[ 1 , ∞ )  definido por F (x) = x2  + 1
  • [ 0 , ∞ ) → R definido por F (x) = Log (2x + 3)
  • F: R → R definido por F (x) = Sec x
  • F: R - {0} → R definido por F (x) = 1 / x

Referências

  1. Introdução à lógica e ao pensamento crítico. Merrilee H. Salmon. Universidade de Pittsburgh
  2. Problemas em Análise Matemática. Piotr Biler, Alfred Witkowski. Universidade de Wroclaw. Polônia.
  3. Elementos de análise abstrata. Mícheál O’Searcoid PhD. Departamento de matemática. Faculdade universitária Dublin, Beldfield, Dublind 4
  4. Introdução à Lógica e à Metodologia das Ciências Dedutivas. Alfred Tarski, New York Oxford. Imprensa da Universidade de Oxford.
  5. Princípios de análise matemática. Enrique Linés Escardó. Editorial Reverté S. A 1991. Barcelona Espanha.