Sólidos de revolução: volume, tipos, exercícios resolvidos - Ciência - 2023

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o sólido de revolução É a figura tridimensional gerada pela rotação de uma superfície plana em torno do eixo axial ou eixo de revolução. A Figura 1 mostra a animação de um sólido de revolução gerado desta forma.

Outro exemplo muito fácil de visualizar consiste em gerar um cilindro circular reto, girando um retângulo de altura ou comprimento he raio r, em torno do eixo x positivo (figura 2). Para encontrar seu volume, existe uma fórmula bem conhecida:

V = área da base x altura

Outros sólidos de revolução são a esfera, o cone circular direito e várias figuras, dependendo da superfície colocada em rotação e, claro, o eixo selecionado.

Por exemplo, girar o semicírculo em torno de uma linha paralela ao diâmetro produz um sólido de revolução oca.

Para o cilindro, o cone, a esfera, tanto sólida quanto oca, existem fórmulas para encontrar o volume, que depende do raio e da altura. Mas quando eles são gerados por outras superfícies, o volume é calculado usando integrais definidas.

Tipos de sólidos de revolução

Os sólidos de revolução podem ser classificados de acordo com a curva que os gera:

Esfera

Basta girar um semicírculo em torno de um eixo que será o diâmetro da esfera do raio R. Seu volume é:

V_esfera = (4/3) πR³

Cone

Para obter um cone de altura H e raio R, a superfície a ser girada é um triângulo retângulo, em torno do eixo axial que passa por uma das pernas. Seu volume é:

V_cone = (1/3) πHR²

Cilindro

Girando um retângulo em torno de um eixo axial que passa por um dos lados, que pode ser o lado curto ou o lado longo, obtém-se um cilindro circular reto de raio R e altura H, cujo volume é:

V_cilindro = πR²H

Toróide

O toro tem a forma de um donut. É obtido girando uma região circular em torno de uma linha no plano que não intercepta o círculo. Seu volume é dado por:

V_toro = 2πa²R

Onde a é o raio da seção transversal e R é o raio do toro de acordo com o esquema apresentado na figura:

Métodos para calcular o volume de um sólido de revolução

No cálculo integral, esses dois métodos são frequentes:

- Discos e arruelas

-Cartuchos

Método de disco ou lavadora

Ao fatiar um sólido de revolução, a seção transversal pode ser um disco, se o sólido for sólido, ou pode ser uma espécie de arruela (um disco com um furo no meio), se for um sólido oco.

Suponha que uma região plana seja girada em torno do eixo horizontal. Dessa região plana, tiramos um pequeno retângulo de largura Δx, que é girado perpendicularmente ao redor do eixo axial.

A altura do retângulo está entre a curva mais externa R (x) e a curva mais interna r (x). Eles correspondem ao raio externo e ao raio interno, respectivamente.

Ao fazer essa rotação, uma arruela de volume ΔV é gerada, dada por:

ΔV = volume total - volume do orifício (se houver)

Lembrando que o volume de um cilindro circular reto é π. rádio² x altura, temos:

ΔV = π [R²(x) - r²(x)] Δx

O sólido pode ser dividido em uma infinidade de pequenas porções de volume ΔV. Se somarmos todos juntos, teremos o volume total.

Para isso, fazemos com que o volume ΔV tenda a 0, com o qual Δx também se torna muito pequeno, tornando-se um dx diferencial.

Portanto, temos uma integral:

V = ∫_para^b π [R²(x) - r²(x)] dx

Caso o sólido seja sólido, então a função r (x) = 0, a fatia do sólido que é gerada é um disco e o volume permanece:

V = ∫_para^b πR²(x) dx

Quando o eixo de revolução é vertical, as equações acima assumem a forma:

V = ∫_para^b π [R²(y) - r²(y)] dy y V = ∫_para^b πR²(y) dy

Método de camadas

Como o nome indica, este método consiste em assumir que o sólido é composto por camadas de espessura diferencial. A capa é um tubo fino que se origina da rotação de um retângulo paralelo ao eixo de rotação.

Temos as seguintes dimensões:

-A altura do retângulo W

-Sua longitude h

-A distância do centro do retângulo ao eixo de rotação p

Saber que o volume da camada é volume exterior - volume interior:

π (p + w / 2)²h - π (p - w / 2)²h

Ao desenvolver e simplificar produtos notáveis, você obtém:

Volume da camada = 2π⋅p⋅w⋅h

Agora vamos fazer a altura w do retângulo Δy, como pode ser visto na figura a seguir:

Com isso, o volume ΔV é:

ΔV = 2π p x h x Δy

E fazendo o número de camadas n é muito grande, Δy torna-se um dy diferencial, com o qual o volume total é a integral:

V = ∫_c^d 2π p (y) h (y) dy

O procedimento descrito se aplica de forma semelhante quando o eixo de revolução é vertical:

Exercício resolvido

Encontre o volume gerado pela rotação da região do plano entre as curvas:

y = x²; y = 0; x = 2

Em torno do eixo y.

Solução

-A primeira coisa que devemos fazer é representar graficamente a região que irá gerar o sólido de revolução e indicar o eixo de rotação. Temos isso no gráfico a seguir:

-Agora as interseções entre a curva y = x são pesquisadas² e a reta x = 2. Por sua vez, a reta y = 0 nada mais é do que o eixo x.

No gráfico é fácil ver que a parábola e a reta se cruzam no ponto (2,4), o que é corroborado pela substituição de x = 2 em y = x².

-Então, um dos métodos para calcular o volume é escolhido, por exemplo o método da camada com eixo vertical de revolução:

V = ∫_para^b 2π p (x) h (x) dx

Etapa 1: desenhe o retângulo

Importante: No método de camada, o lado longo do retângulo é paralelo ao eixo de rotação.

Etapa 2: determinar p (x)

O raio da camada é x

Etapa 3: determinar h (x)

A altura do retângulo é determinada pela parábola x².

Etapa 4: estabelecer e resolver o volume integral

A variável de integração é x, que varia entre 0 e 2, com isso temos os limites da integração. Substituindo as expressões por p (x) e h (x)

Referências

Larson, R. 2010. Cálculo de uma variável. 9º. Edição. McGraw Hill.
Purcell, E. 2007. Calculus with Analytical Geometry. 9º. Edição. Pearson Education.
Wikipedia. Sólido de revolução. Recuperado de: en.wikipedia.org.
Wikipedia. Toróide Recuperado de: es.wikipedia.org.
Wolfram MathWorld. Sólido de revolução. Recuperado de: mathworld.wolfram.com.