Axiomas de probabilidade: tipos, explicação, exemplos, exercícios - Ciência - 2023

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o axiomas deprobabilidade são proposições matemáticas referentes à teoria da probabilidade, que não merecem prova. Os axiomas foram estabelecidos em 1933 pelo matemático russo Andrei Kolmogorov (1903-1987) em seu trabalho Fundamentos da Teoria da Probabilidade e eles lançaram as bases para o estudo matemático da probabilidade.

Ao realizar um determinado experimento aleatório ξ, o espaço amostral E é o conjunto de todos os resultados possíveis do experimento, também denominado eventos. Qualquer evento é denotado como A e P (A) é a probabilidade de ocorrer. Então Kolmogorov estabeleceu que:

–Axioma 1 (não negatividade): a probabilidade de qualquer evento A ocorrer é sempre positiva ou zero, P (A) ≥0. Quando a probabilidade de um evento é 0, ele é chamado evento impossível.

–Axioma 2 (certeza): sempre que algum evento pertencente a E, sua probabilidade de ocorrência é 1, que podemos expressar como P (E) = 1. É o que é conhecido como evento certo, pois ao realizar um experimento, com toda a certeza há um resultado.

–Axioma 3 (adição): no caso de dois ou mais eventos incompatíveis dois a dois, denominado A₁, PARA₂, PARA₃…, A probabilidade de que o evento A ocorra₁ mais o A₂ mais o A₃ e assim por diante, é a soma das probabilidades de que cada uma aconteça separadamente.

Isso é expresso como: P (A₁ U A₂ U A₃ U ...) = P (A₁) + P (A₂) + P (A₃) +…

Exemplo

Os axiomas de probabilidade são amplamente usados em uma infinidade de aplicações. Por exemplo:

Uma tachinha ou tachinha é arremessada ao ar, e quando ela cair no chão existe a opção de pousar com a ponta para cima (U) ou com a ponta para baixo (D) (não consideraremos outras possibilidades). O espaço de amostra para este experimento consiste nesses eventos, então E = {U, D}.

Ao aplicar os axiomas, temos:

P (E) = 1 (Axioma 2)

Mas P (E) = P (U) + P (D) (Axioma 3), porque esses eventos são mutuamente incompatíveis, ou disjuntos. O percevejo não cai com a ponta para cima ou para baixo ao mesmo tempo, é um ou outro, mas não os dois, pois outras possibilidades não estão sendo consideradas. Então:

P (U) + P (D) = 1

P (U) = 1 - P (D)

Se houver a mesma probabilidade de cair para cima ou para baixo, P (U) = P (D) = ½ (Axioma 1). No entanto, pode ser que a construção e o design do pino tenham maior probabilidade de cair de uma forma ou de outra. Por exemplo, pode ser que P (U) = ¾ enquanto que P (D) = ¼ (Axioma 1).

Observe que, em ambos os casos, a soma das probabilidades dá 1. No entanto, os axiomas não indicam como atribuir as probabilidades, pelo menos não completamente. Mas afirmam que são números entre 0 e 1 e que, como neste caso, a soma de todos é 1.

Maneiras de atribuir probabilidade

Os axiomas de probabilidade não são um método de atribuição do valor de probabilidade. Para isso, existem três opções compatíveis com os axiomas:

Regra de Laplace

Cada evento recebe a mesma probabilidade de acontecer, então a probabilidade de ocorrência é definida como:

P (A) = número de casos favoráveis ao evento A / número de casos possíveis

Por exemplo, qual é a probabilidade de tirar um ás de um baralho de cartas francesas? O baralho possui 52 cartas, 13 de cada naipe e 4 naipes. Cada naipe tem 1 ases, portanto, no total, há 4 ases:

P (as) = 4/52 = 1/13

A regra de Laplace é limitada a espaços de amostra finitos, onde cada evento é igualmente provável.

Frequência relativa

Aqui o experimento deve ser repetido, pois o método se baseia na realização de um grande número de repetições.

Vamos fazer i repetições do experimento ξ, do qual descobrimos que n é o número de vezes que um certo evento A ocorre, então a probabilidade de que esse evento ocorra é:

P (A) = lim_{i → ∞} (nem)

Onde n / i é a frequência relativa de um evento.

Definir P (A) dessa maneira satisfaz os axiomas de Kolmogorov, mas tem a desvantagem de que muitos testes devem ser realizados para que a probabilidade seja apropriada.

Método subjetivo

Uma pessoa ou grupo de pessoas pode concordar em atribuir probabilidade a um evento, por meio de seu próprio julgamento. Esse método tem a desvantagem de que diferentes pessoas podem atribuir diferentes probabilidades ao mesmo evento.

Exercício resolvido

No experimento de jogar simultaneamente 3 moedas honestas, obtenha as probabilidades dos eventos descritos:

a) 2 cabeças e uma cauda.

b) 1 cara e duas caudas

c) 3 cruzes.

d) Pelo menos 1 rosto.

Solução para

Cara é denotada por C e coroa por X. Mas existem várias maneiras de obter duas cabeças e uma cauda. Por exemplo, as duas primeiras moedas podem cair na cara e a terceira pode cair na coroa. Ou a primeira pode cair cara, a segunda coroa e a terceira cara. E, finalmente, o primeiro pode ser coroa e as restantes caras.

Para responder às perguntas é necessário conhecer todas as possibilidades, que são descritas em uma ferramenta chamada diagrama de árvore ou árvore de probabilidades:

A probabilidade de qualquer moeda dar cara é ½, o mesmo vale para coroa, já que a moeda é honesta. Na coluna da direita estão listadas todas as possibilidades que o sorteio possui, ou seja, o espaço amostral.

A partir do espaço amostral, são escolhidas as combinações que respondem ao evento solicitado, já que a ordem em que os rostos aparecem não é importante. Existem três eventos favoráveis: CCX, CXC e XCC. A probabilidade de cada evento acontecer é:

P (CCX) = ½. ½. ½ = 1/8

O mesmo ocorre para os eventos CXC e XCC, cada um com 1/8 de probabilidade de acontecer. Portanto, a probabilidade de obter exatamente 2 caras é a soma das probabilidades de todos os eventos favoráveis:

P (2 lados) = 1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8 = 0,375

Solução b

Encontrar a probabilidade de que exatamente dois cruzamentos ocorram é um problema análogo ao anterior, existem também três eventos favoráveis retirados do espaço amostral: CXX, XCX e XXC. Portanto:

P (2 cruzes) = 3/8 = 0,375

Solução c

Sabemos intuitivamente que a probabilidade de obter 3 coroas (ou 3 coroas) é menor. Nesse caso, o evento procurado é XXX, no final da coluna da direita, cuja probabilidade é:

P (XXX) = ½. ½. ½ = 1/8 = 0,125.

Solução d

É necessário obter pelo menos 1 face, isto significa que podem sair 3 faces, 2 faces ou 1 face. O único evento incompatível com este é aquele em que saem 3 caudas, cuja probabilidade é de 0,125. Portanto, a probabilidade buscada é:

P (pelo menos 1 cabeça) = 1 - 0,125 = 0,875.

Referências

Canavos, G. 1988. Probabilidade e Estatística: Aplicações e métodos. McGraw Hill.
Devore, J. 2012. Probability and Statistics for Engineering and Science. 8º. Edição. Cengage.
Lipschutz, S. 1991. Schaum Series: Probability. McGraw Hill.
Obregón, I. 1989. Teoria da probabilidade. Editorial Limusa.
Walpole, R. 2007. Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências. Pearson.