Leis de Kepler: explicação, exercícios, experimento - Ciência - 2023

Contente

• 3 Leis de Kepler
• A lei da gravitação universal e a terceira lei de Kepler
• 
• Exercícios
• - Exercício 1
• Solução
• - Exercício 2
• Solução
• Solução para
• Solução b
• Experimentar
• materiais 
• Processo
• Cálculo da área da seção elíptica
• Verificação da lei de igualdade de áreas
• Referências

As Leis de Kepler sobre o movimento planetário foram formulados pelo astrônomo alemão Johannes Kepler (1571-1630). Kepler as deduziu com base no trabalho de seu professor, o astrônomo dinamarquês Tycho Brahe (1546-1601).

Brahe coletou dados cuidadosamente sobre os movimentos planetários ao longo de mais de 20 anos, com precisão e exatidão surpreendentes, considerando que o telescópio ainda não havia sido inventado na época. A validade dos seus dados continua válida até hoje.

3 Leis de Kepler

As leis de Kepler estabelecem:

-Primeira lei: todos os planetas descrevem órbitas elípticas com o Sol em um dos focos.

–Segunda lei ou lei de áreas iguais: uma linha dirigida do Sol para qualquer planeta (raio focal), varre áreas iguais em tempos iguais.

–Terceira lei: O quadrado do tempo que leva para qualquer planeta orbitar o Sol é proporcional ao cubo de sua distância média do sol.

Estar T disse tempo, chamou período orbital, Yr a distância média, então:

T² é proporcional a r³

T = k r³

Isso significa que o quociente T²/ r³ é igual para todos os planetas, o que permite calcular o raio orbital, se o período orbital for conhecido.

Quando T é expresso em anos e r em unidades astronômicas AU *, a constante de proporcionalidade é k = 1:

T²= r³

* Uma unidade astronômica equivale a 150 milhões de quilômetros, que é a distância média entre a Terra e o Sol. O período orbital da Terra é de 1 ano.

A lei da gravitação universal e a terceira lei de Kepler

A lei universal da gravitação afirma que a magnitude da força gravitacional de atração entre dois objetos de massas M Y m respectivamente, cujos centros são separados por uma distância r, É dado por:

F = G mM / r²

G é a constante de gravitação universal e seu valor é G = 6,674 x 10 ^-11 N.m²/ kg² .

Agora, as órbitas dos planetas são elípticas com uma excentricidade muito pequena.

Isso significa que a órbita não está muito longe de uma circunferência, exceto em alguns casos, como no planeta anão Plutão. Se aproximarmos as órbitas da forma circular, a aceleração do movimento do planeta é:

para_c = v²/ r

Dado que F = ma, temos:

G mM / r² = m.v²/ r

Aqui v é a velocidade linear do planeta em torno do Sol, assumida estática e de massaM, enquanto o do planeta é m. Então:

Isso explica que os planetas mais distantes do Sol têm uma velocidade orbital menor, uma vez que isso depende de 1 / √r.

Como a distância que o planeta percorre é aproximadamente o comprimento da circunferência: L = 2πr e leva um tempo igual a T, o período orbital, obtemos:

v = 2πr / T

Equacionar ambas as expressões para v dá uma expressão válida para T², o quadrado do período orbital:

E esta é precisamente a terceira lei de Kepler, uma vez que nesta expressão os parênteses 4π² / GM é constante, portanto T² é proporcional à distância r levantado para o cubo.

A equação definitiva para o período orbital é obtida tomando a raiz quadrada:

Quanto vale a massa do Sol? É possível descobrir por esta equação. Sabemos que o período orbital da Terra é de um ano e o raio orbital é de 1 UA, equivalente a 150 milhões de quilômetros, então temos todos os dados necessários.

Em nossa equação anterior, resolvemos para M, mas não sem primeiro converter todos os valores para o Sistema Internacional de Unidades SI:

1 ano = 3,16 x 10⁷ segundos.

1 AU = 150 milhões de km = 1,5 x10¹¹ m.

Exercícios

Embora Kepler tivesse apenas planetas em mente quando derivou suas famosas leis, elas também se aplicam ao movimento de satélites e outros corpos no sistema solar, como veremos a seguir.

- Exercício 1

Sabendo que a órbita de Júpiter é 5,19 vezes a da Terra, encontre o período orbital de Júpiter.

Solução

Segundo a definição de Unidade Astronômica, Júpiter está distante do Sol 5,19 UA, portanto, de acordo com a terceira lei de Kepler:

T²= r³= (5,19)³ anos

Portanto T = (5,19)^3/2 anos = 11,8 anos

- Exercício 2

O cometa Halley visita o Sol a cada 75,3 anos. Encontrar:

a) O semi-eixo maior de sua órbita.

b) A medida do afélio, se o periélio medir 0,568 UA.

Solução

O cometa de Halley visita o Sol a cada 75,3 anos. Encontrar:

a) O semi-eixo maior de sua órbita.

b) A medida do afélio, se o periélio medir 0,568 UA.

Solução para

Quando um planeta ou qualquer outra estrela está em seu ponto mais próximo do Sol, diz-se que está no periélio, e quando estiver mais longe, em afélio. No caso especial de uma órbita circular, r na terceira lei de Kepler é o raio da órbita.

No entanto, na órbita elíptica o corpo celeste está mais ou menos longe do Sol, o semi-eixo maior "a" sendo a média entre o afélio e o periélio:

Portanto, substituímos r por a na terceira lei de Kepler, o que resulta para Halley em:

T²= a³→ a = (T)^2/3 → a = (75,3) ^2/3 UA = 17.832 UA

Solução b

a = ½ (Periélio + Afélio)

17,832 = ½ (0,568+ Afélio) → Afélio = 2 x 17,832 - 0,568 UA = 35,10 UA.

Experimentar

A análise do movimento dos planetas requer semanas, meses e até anos de observação e registro cuidadosos.Mas no laboratório, um experimento muito simples pode ser realizado em uma escala muito simples para provar que a lei de Kepler das áreas iguais é válida.

Isso requer um sistema físico no qual a força que governa o movimento seja central, uma condição suficiente para que a lei das áreas seja cumprida. Tal sistema consiste em uma massa amarrada a uma corda comprida, com a outra ponta do fio fixada em um suporte.

A massa é deslocada um pequeno ângulo de sua posição de equilíbrio e um leve impulso é dado a ela, de forma que ela execute um movimento oval (quase elíptico) no plano horizontal, como se fosse um planeta ao redor do Sol.

Na curva descrita pelo pêndulo, podemos provar que ele varre áreas iguais em tempos iguais, se:

- Consideramos raios vetoriais que vão do centro de atração (ponto inicial de equilíbrio) até a posição da massa.

-E fazemos a varredura entre dois momentos consecutivos de igual duração, em duas áreas diferentes do movimento.

Quanto mais comprida a corda do pêndulo e menor o ângulo da vertical, a força de restauração resultante será mais horizontal e a simulação se assemelha ao caso do movimento com força central em um plano.

Então, a forma oval descrita se aproxima de uma elipse, como aquela pela qual os planetas viajam.

materiais 

- fio inextensível

-1 bola de massa ou metal pintada de branco que atua como um pêndulo

-Governante

-Transportadora

- Câmera fotográfica com disco estroboscópico automático

-Apoia

- Duas fontes de iluminação

- Uma folha de papel preto ou papelão

Processo

A montagem da figura é necessária para tirar fotos de vários flashes do pêndulo conforme ele segue seu caminho. Para isso, você deve colocar a câmera logo acima do pêndulo e o disco estroboscópico automático na frente da lente.

Desta forma, as imagens são obtidas em intervalos regulares de tempo do pêndulo, por exemplo a cada 0,1 ou a cada 0,2 segundos, o que permite saber o tempo que leva para se deslocar de um ponto a outro.

Você também deve iluminar a massa do pêndulo adequadamente, colocando as luzes em ambos os lados. A lentilha deve ser pintada de branco para melhorar o contraste no fundo, que consiste em um papel preto estendido no chão.

Agora você deve verificar se o pêndulo varre áreas iguais em tempos iguais. Para isso, é escolhido um intervalo de tempo e os pontos ocupados pelo pêndulo nesse intervalo são marcados no papel.

Na imagem uma linha é traçada do centro da oval até esses pontos e assim teremos a primeira das áreas varridas pelo pêndulo, que é aproximadamente um setor elíptico como o mostrado abaixo:

Cálculo da área da seção elíptica

Com o transferidor, os ângulos são medidos θ_ou Y θ₁, e esta fórmula é usada para encontrar S, a área do setor elíptico:

S = F (θ₁) - F (θ_ou)

ComF (θ) dado por:

Observe que para Y b são os semieixos maiores e menores, respectivamente. O leitor só precisa se preocupar em medir com cuidado os semieixos e os ângulos, já que existem calculadoras online para avaliar facilmente essa expressão.

No entanto, se você insiste em fazer o cálculo à mão, lembre-se de que o ângulo θ é medido em graus, mas ao inserir os dados na calculadora, os valores devem ser expressos em radianos.

Depois, deve-se marcar outro par de pontos em que o pêndulo tenha invertido o mesmo intervalo de tempo e desenhar a área correspondente, calculando seu valor com o mesmo procedimento.

Verificação da lei de igualdade de áreas

Por fim, resta verificar se a lei das áreas é cumprida, ou seja, se áreas iguais são varridas em tempos iguais.

Os resultados estão se desviando um pouco do esperado? Deve-se sempre ter em mente que todas as medições são acompanhadas de seus respectivos erros experimentais.

Referências

1. Calculadora Keisan online. Área de uma calculadora elíptica de setor. Recuperado de: keisan.casio.com.
2. Openstax. Lei do Movimento Planetário de Kepler. Recuperado de: openstax.org.
3. PSSC. Laboratório de Física. Editorial Reverté. Recuperado de: books.google.co.
4. Palen, S. 2002. Astronomy. Schaum Series. McGraw Hill.
5. Pérez R. Sistema simples com força central. Recuperado de: francesphysics.blogspot.com
6. Stern, as três leis do movimento planetário de D. Kepler. Recuperado de: phy6.org.