Leis dos expoentes (com exemplos e exercícios resolvidos) - Ciência - 2023

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As leis dos expoentes são aqueles que se aplicam a esse número que indica quantas vezes um número base deve ser multiplicado por si mesmo. Os expoentes também são conhecidos como poderes. Empowerment é uma operação matemática formada por uma base (a), o expoente (m) e a potência (b), que é o resultado da operação.

Os expoentes são geralmente usados quando são usadas quantidades muito grandes, porque eles nada mais são do que abreviações que representam a multiplicação daquele mesmo número uma certa quantidade de vezes. Os expoentes podem ser positivos e negativos.

Explicação das leis dos expoentes

Conforme declarado anteriormente, os expoentes são uma forma abreviada que representa a multiplicação de números por si mesmos várias vezes, em que o expoente se relaciona apenas ao número à esquerda. Por exemplo:

2³ = 2*2*2 = 8

Nesse caso, o número 2 é a base da potência, que será multiplicada 3 vezes conforme indicado pelo expoente, localizado no canto superior direito da base. Existem diferentes maneiras de ler a expressão: 2 elevado a 3 ou também 2 elevado ao cubo.

Os expoentes também indicam o número de vezes que podem ser divididos, e para diferenciar esta operação da multiplicação, o expoente tem o sinal menos (-) na frente (é negativo), o que significa que o expoente está no denominador de um fração. Por exemplo:

2^{– 4} = 1/ 2*2*2*2 = 1/16

Isso não deve ser confundido com o caso em que a base é negativa, pois dependerá se o expoente é ímpar ou par para determinar se a potência será positiva ou negativa. Então você tem que:

- Se o expoente for par, a potência será positiva. Por exemplo:

(-7)² = -7 _*-7 = 49.

- Se o expoente for ímpar, a potência será negativa. Por exemplo:

(–2)⁵ = (-2)*(-2)*(-2)*(-2)*(-2)=-32.

Existe um caso especial em que se o expoente é igual a 0, a potência é igual a 1. Também existe a possibilidade de que a base seja 0; nesse caso, dependendo do expoente, a potência será indeterminada ou não.

Para realizar operações matemáticas com expoentes é necessário seguir várias regras ou normas que tornam mais fácil encontrar a solução para essas operações.

Primeira lei: potência do expoente igual a 1

Quando o expoente for 1, o resultado será o mesmo valor da base: a¹ = a.

Exemplos

9¹= 9.

22¹ = 22.

895¹ = 895.

Segunda lei: potência expoente igual a 0

Quando o expoente for 0, se a base for diferente de zero, o resultado será: a⁰ = 1.

Exemplos

1⁰= 1.

323⁰=1.

1095⁰ = 1.

Terceira lei: expoente negativo

Como o expoente é negativo, o resultado será uma fração, onde a potência será o denominador. Por exemplo, se m for positivo, então um^-m= 1 / a^m.

Exemplos

– 3^-1 = 1/ 3.

– 6^-2 = 1 / 6² = 1/36.

– 8^-3 = 1/ 8³ = 1/512.

Quarta lei: multiplicação de poderes com base igual

Para multiplicar as potências em que as bases são iguais e diferentes de 0, a base é mantida e os expoentes são adicionados: a^m_* paraⁿ = a^{m + n}.

Exemplos

– 4⁴_*4³= 4⁴⁺³= 4⁷

– 8¹_* 8⁴ = 8¹⁺⁴ = 8⁵

– 2²_* 2⁹= 2²⁺⁹ = 2¹¹

Quinta lei: divisão de poderes com base igual

Para dividir potências nas quais as bases são iguais e diferentes de 0, a base é mantida e os expoentes são subtraídos da seguinte forma: a^m / paraⁿ = a^m-n.

Exemplos

– 9²/ 9¹ = 9 ^{(2 – 1)}= 9¹.

– 6¹⁵ / 6¹⁰ = 6 ^{(15 – 10)} = 6⁵.

– 49¹² / 49⁶ = 49 ^{(12 – 6)}= 49⁶.

Sexta lei: multiplicação de poderes com base diferente

Essa lei tem o oposto do que está expresso na quarta; ou seja, se você tiver bases diferentes, mas com os mesmos expoentes, as bases serão multiplicadas e o expoente será mantido: a^m_* b^m = (a_*b) ^m.

Exemplos

– 10²_* 20² = (10 _* 20)² = 200².

– 45¹¹_* 9¹¹ = (45*9)^{11 =}405¹¹.

Outra forma de representar essa lei é quando uma multiplicação é elevada a uma potência. Assim, o expoente pertencerá a cada um dos termos: (a_*b)^m= a^m_* b^m.

Exemplos

– (5_*8)⁴ = 5⁴_* 8⁴ = 40⁴.

– (23 * 7)⁶ = 23⁶_*7⁶ = 161⁶.

Sétima lei: divisão de poderes com base diferente

Se você tiver bases diferentes, mas com os mesmos expoentes, divida as bases e mantenha o expoente: a^m / b^m = (a / b)^m.

Exemplos

– 30³ / 2³= (30/2)³= 15³.

– 440⁴ / 80⁴ = (440/80)⁴ = 5,5⁴.

Da mesma forma, quando uma divisão é elevada a uma potência, o expoente pertencerá a cada um dos termos: (a /b)^m = a^m/ b^m.

Exemplos

– (8/4)⁸ = 8⁸ / 4⁸ = 2⁸.

– (25/5)²= 25² / 5² = 5².

É o caso em que o expoente é negativo. Então, para ser positivo, o valor do numerador é invertido com o do denominador, da seguinte forma:

- (a / b)^-n= (b / a)ⁿ = bⁿ/ paraⁿ.

– (4/5) ^-9 = ( 5 / 4)⁹= 5⁹/ 4⁴.

Oitava lei: poder de um poder

Quando você tem uma potência que é elevada a outra potência -ou seja, dois expoentes ao mesmo tempo-, a base é mantida e os expoentes são multiplicados: (a^m)ⁿ= a^{m *}ⁿ.

Exemplos

– (8³)² = 8 ^(3*2) = 8⁶.

– (13⁹)³ = 13 ^(9*3) = 13²⁷.

– (238¹⁰)¹² = 238^{(10 * 12)}= 238¹²⁰.

Nona lei: expoente fracionário

Se a potência tem uma fração como expoente, isso é resolvido transformando-a em uma enésima raiz, onde o numerador permanece como um expoente e o denominador representa o índice da raiz:

Exemplo

Exercícios resolvidos

Exercício 1

Calcule as operações entre potências que têm bases diferentes:

2⁴_* 4⁴ / 8².

Solução

Aplicando as regras dos expoentes, as bases são multiplicadas no numerador e o expoente é mantido, assim:

2⁴_* 4⁴ / 8²=(2_*4)⁴/ 8²= 8⁴ / 8²

Agora, como temos as mesmas bases, mas com expoentes diferentes, a base é mantida e os expoentes são subtraídos:

8⁴ / 8² = 8^{(4 – 2)} = 8²

Exercício 2

Calcule as operações entre as potências elevadas a outra potência:

(3²)³_* (2 _* 6⁵)^-2_*(2²)³

Solução

Aplicando as leis, você deve:

(3²)³_* (2 _* 6⁵)^-2_*(2²)³

=3⁶_* 2^-2_*2^-10_*2⁶

=3⁶_*2^{(-2) + (- 10)}_*2⁶

=3⁶_*2^-12_* 2⁶

=3⁶_*2^{(-12) + (6)}

=3⁶_* 2⁶

=(3_*2)⁶

=6⁶

=46.656

Referências

Aponte, G. (1998). Fundamentos de matemática básica. Pearson Education.
Corbalán, F. (1997). Matemática aplicada à vida cotidiana.
Jiménez, J. R. (2009). Matemática 1 SEP.
Max Peters, W. L. (1972). Álgebra e trigonometria.
Rees, P. K. (1986). Reverte.