Triângulos: história, elementos, classificação, propriedades - Ciência - 2023

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o triângulos São figuras geométricas planas e fechadas, constituídas por três lados. Um triângulo é determinado por três linhas que se cruzam duas a duas, formando três ângulos entre si. A forma triangular, carregada de simbolismo, está presente em inúmeros objetos e como elemento de construção.

A origem do triângulo se perdeu na história. Pelas evidências arqueológicas sabe-se que a humanidade primitiva o conhecia bem, pois os vestígios arqueológicos confirmam que era usado em ferramentas e armas.

Também é claro que os antigos egípcios tinham um conhecimento sólido de geometria e, em particular, da forma triangular. Eles se refletiram nos elementos arquitetônicos de seus edifícios monumentais.

Fórmulas para calcular as áreas de triângulos e trapézios são encontradas no papiro Rhind, assim como alguns volumes e outros conceitos de trigonometria rudimentar.

Por sua vez, sabe-se que os babilônios conseguiam calcular a área do triângulo e outras figuras geométricas, que usavam para fins práticos, como as divisões do terreno. Eles também conheciam muitas propriedades dos triângulos.

No entanto, foram os gregos antigos que sistematizaram muitos dos conceitos geométricos predominantes hoje, embora muito desse conhecimento não fosse exclusivo, uma vez que certamente era compartilhado com essas outras civilizações antigas.

Elementos de triângulo

Os elementos de qualquer triângulo são indicados na figura a seguir. Existem três: vértices, lados e ângulos.

-Vértices: são os pontos de intersecção das linhas cujos segmentos determinam o triângulo. Na figura acima, por exemplo, a linha L_AC contendo o segmento AC, cruza a linha L_AB que contém o segmento AB apenas no ponto A.

–Lados: entre cada par de vértices, um segmento de linha é desenhado que constitui um lado do triângulo. Este segmento pode ser denotado pelas letras finais ou usando uma letra específica para chamá-lo. No exemplo da figura 2, o lado AB também é denominado "c".

–Ângulos: Entre cada lado com um vértice comum se origina um ângulo, cujo vértice coincide com o do triângulo. Geralmente, o ângulo é denotado por uma letra grega, conforme indicado no início.

Para construir um triângulo específico, com uma determinada forma e tamanho, basta ter um dos seguintes conjuntos de dados:

-Os três lados, bastante óbvios no caso de um triângulo.

-Dois lados e o ângulo entre eles, e imediatamente o lado restante é desenhado.

-Dois ângulos (internos) e o lado entre eles. Por extensão, os dois lados que faltam são desenhados e o triângulo está pronto.

Notação

Geralmente, na notação de triângulo, as seguintes convenções são usadas: os vértices são indicados por letras latinas maiúsculas, os lados por letras latinas minúsculas e os ângulos por letras gregas (veja a figura 2).

Desta forma, o triângulo é nomeado de acordo com seus vértices. Por exemplo, o triângulo à esquerda na figura 2 é o triângulo ABC e o da direita é o triângulo A'B'C '.

Também é possível usar outras notações; por exemplo, o ângulo α na Figura 2 é denotado como BAC. Observe que a letra do vértice fica no meio e as letras são escritas no sentido anti-horário.

Outras vezes, um acento circunflexo é colocado para denotar o ângulo:

α = ∠A

Tipos de triângulos

Existem vários critérios para classificar triângulos. O mais usual é classificá-los de acordo com a medida de seus lados ou de acordo com a medida de seus ângulos. Dependendo da medida de seus lados, os triângulos podem ser: escalenos, isósceles ou equiláteros:

-Escaleno: seus três lados são diferentes.

-Isósceles: tem dois lados iguais e um lado diferente.

-Equilátero: todos os três lados são iguais.

De acordo com a medida de seus ângulos, os triângulos são nomeados assim:

–Ângulo obtuso, se um dos ângulos internos for maior que 90º.

–Ângulo agudo, quando os três ângulos internos do triângulo são agudos, ou seja, menos de 90º

–Retângulo, caso um de seus ângulos internos seja 90º. Os lados que formam 90º são chamados de pernas e o lado oposto ao ângulo reto é a hipotenusa.

Congruência de triângulos

Quando dois triângulos têm a mesma forma e são do mesmo tamanho, eles são considerados congruentes. É claro que a congruência está relacionada à igualdade, então por que em geometria falamos de "dois triângulos congruentes" em vez de "dois triângulos iguais"?

Bem, preferimos usar o termo "congruência" para nos ater à verdade, uma vez que dois triângulos podem ter a mesma forma e tamanho, mas estar orientados de forma diferente no plano (ver figura 3). Do ponto de vista da geometria, eles não seriam mais estritamente os mesmos.

Critérios de congruência

Dois triângulos são congruentes se um dos seguintes ocorrer:

-Os três lados medem o mesmo (novamente, este é o mais óbvio).

-Têm dois lados idênticos e com o mesmo ângulo entre eles.

-Os dois têm dois ângulos internos idênticos e o lado entre esses ângulos mede o mesmo.

Como se pode ver, trata-se dos dois triângulos que atendem às condições necessárias para que, quando construídos, sua forma e tamanho sejam exatamente os mesmos.

Os critérios de congruência são muito úteis, pois na prática inúmeras peças e peças mecânicas devem ser fabricadas em série, de forma que suas medidas e formas sejam exatamente as mesmas.

Similaridade de triângulos

Um triângulo é semelhante a outro se eles tiverem a mesma forma, mesmo que sejam de tamanhos diferentes. Para garantir que a forma seja a mesma, é necessário que os ângulos internos tenham o mesmo valor e que os lados sejam proporcionais.

Os triângulos na figura 2 também são semelhantes, assim como os da figura 6. Desta forma:

∠ A = ∠ A´, ∠ B = ∠ B´ e ∠ C = ∠ C´

Quanto aos lados, as seguintes razões de similaridade se mantêm:

a / a´ = b / b´ = c / c´

Propriedades

As propriedades fundamentais dos triângulos são as seguintes:

-A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre 180º.

-Para qualquer triângulo, a soma de seus ângulos externos é igual a 360 °.

- Um ângulo externo de um triângulo é igual à soma dos dois ângulos internos não adjacentes a esse ângulo.

Teoremas

Primeiro Teorema de Tales

Eles são atribuídos ao filósofo e matemático grego Tales de Mileto, que desenvolveu vários teoremas relacionados à geometria. O primeiro deles afirma o seguinte:

Se várias linhas paralelas interceptam duas linhas transversais, segmentos que são proporcionais são determinados nelas.

Em outras palavras:

a / a´ = b / b´ = c / c´

O primeiro teorema de Tales é aplicável a um triângulo, por exemplo, temos o triângulo azul ABC à esquerda, que é cortado pelos paralelos vermelhos à direita:

O triângulo violeta AB'C 'é semelhante ao triângulo azul ABC, portanto, de acordo com o teorema de Tales, o seguinte pode ser escrito:

AB´ / AC´ = AB / AC

E é consistente com o que foi explicado acima no segmento de semelhança dos triângulos. A propósito, as linhas paralelas também podem ser verticais ou paralelas à hipotenusa e triângulos semelhantes são obtidos da mesma forma.

Segundo teorema de Tales

Este teorema também se refere a um triângulo e um círculo com centro O, como os mostrados abaixo. Nesta figura, AC é o diâmetro da circunferência e B é um ponto dela, B sendo diferente de A e B.

O segundo teorema de Tales afirma que:

O ângulo entre os segmentos AB e BC é sempre 90º, portanto o triângulo ABC está correto.

O teorema de Pitágoras

Este é um dos teoremas mais famosos da história. É devido ao matemático grego Pitágoras de Samos (569 - 475 aC) e é aplicável a um triângulo retângulo. Diz assim:

A soma dos quadrados dos comprimentos das pernas do triângulo retângulo é igual ao comprimento da hipotenusa ao quadrado.

Se tomarmos como exemplo o triângulo azul na figura 8, ou o triângulo roxo, uma vez que ambos são retângulos, então pode-se afirmar que:

AC² = AB² + BC² (triângulo azul)

AC´² = AB '² + BC´² (triângulo roxo)

A área de um triângulo

A área do triângulo é dada pelo produto de sua base para e sua altura h, dividido por 2. E por trigonometria, esta altura pode ser escrita como h = b sinθ.

Exemplos de triângulos

Exemplo 1

Diz-se que por meio de seu primeiro teorema, Tales conseguiu medir a altura da Grande Pirâmide do Egito, uma das 7 maravilhas do mundo antigo, medindo a sombra que ela projetou no solo e a sombra projetada por uma estaca cravada no solo.

Este é o esboço do procedimento seguido por Tales:

Tales supôs corretamente que os raios do sol batem em paralelo. Com isso em mente, ele imaginou o grande triângulo retângulo à direita.

Lá D é a altura da pirâmide e C é a distância acima do solo medida do centro à sombra projetada pela pirâmide no solo do deserto. Medir C pode ser trabalhoso, mas certamente é mais fácil do que medir a altura da pirâmide.

À esquerda está o pequeno triângulo, com pernas A e B, onde A é a altura da estaca cravada verticalmente no solo e B é a sombra que ela projeta. Ambos os comprimentos são mensuráveis, assim como C (C é igual ao comprimento da sombra + metade do comprimento da pirâmide).

Então, por semelhança de triângulos:

A / B = D / C

E a altura da Grande Pirâmide acaba sendo: D = C. (A / B)

Exemplo 2

As treliças na construção civil são estruturas feitas de finas barras retas de madeira ou metal entrecruzadas, que servem de suporte em muitos edifícios. Eles também são conhecidos como treliças, treliças ou treliças (treliça em inglês).

Neles os triângulos estão sempre presentes, uma vez que as barras estão interligadas em pontos chamados nós, que podem ser fixos ou articulados.

Exemplo 3

O método conhecido como triangulação permite obter a localização de pontos inacessíveis pelo conhecimento de outras distâncias mais fáceis de medir, desde que seja formado um triângulo que inclua a localização desejada entre seus vértices.

Por exemplo, na figura a seguir, queremos saber onde o navio está no mar, indicado como B.

Primeiramente, mede-se a distância entre dois pontos da costa, que na figura são A e C. Em seguida, os ângulos α e β devem ser determinados, com o auxílio de umteodolito, um dispositivo usado para medir ângulos verticais e horizontais.

Com todas essas informações, é construído um triângulo cujo vértice superior é o barco. Resta calcular o ângulo γ, usando as propriedades dos triângulos e as distâncias AB e CB usando a trigonometria, para determinar a posição do navio no mar.

Exercícios

Exercício 1

Na figura mostrada, os raios do sol são paralelos. Desta forma, a árvore de 5 metros de altura projeta uma sombra de 6 metros no solo. Ao mesmo tempo, a sombra do prédio é de 40 metros. Seguindo o primeiro teorema de Tales, encontre a altura do edifício.

Solução

O triângulo vermelho tem lados de 5 e 6 metros respectivamente, enquanto o azul tem altura H - a altura do prédio - e base 40 metros. Ambos os triângulos são semelhantes, portanto:

H / 40 = 5/6 → H = 40. (5/6) m = 33,3 m

Exercício 2

Você precisa saber a distância horizontal entre dois pontos PARA Y B, mas estão situados em terrenos muito irregulares.

Sobre o ponto médio (P_m) deste terreno destaca-se um destaque de 1,75 metros de altura. Se a fita métrica indicar 26 metros de comprimento medido de A até a proeminência e 27 metros de B até o mesmo ponto, encontre a distância AB.

Solução

O teorema de Pitágoras é aplicado a um dos dois triângulos retângulos da figura. Começando com o da esquerda:

Hipotenusa = c = 26 metros

Altura = a = 1,75 metros

AP_m = (26² – 1.75²)^1/2 = 25,94 m

Agora aplique Pitágoras ao triângulo à direita, desta vez c = 27 metros, a = 1,75 metros. Com estes valores:

BP_m=(27² – 1.75²)^1/2 = 26,94 m

A distância AB é encontrada adicionando estes resultados:

AB = 25,94 m + 26,94 m = 52,88 m.

Referências

Baldor, J. A. 1973. Plane and Space Geometry. Cultural da América Central.
Barredo, D. A geometria do triângulo. Recuperado de: ficus.pntic.mec.es.
Jiménez, R. 2010. Mathematics II. Geometria e trigonometria. Segunda edição. Pearson.
Wentworth, G. Plane Geometry. Recuperado de: gutenberg.org.
Wikipedia. Triângulo. Recuperado de: es. wikipedia.org.