Constante de Boltzmann: história, equações, cálculo, exercícios - Ciência - 2023

Contente

• História
• Constante de Boltzmann e obras de Planck
• Valor e equações
• Constante de Boltzmann e entropia
• Como você calcula k_B?
• Exercícios resolvidos
• -Exercício 1
• Facto
• Solução
• Solução
• Referências

o Constante de Boltzmann é o valor que relaciona a energia cinética média de um sistema termodinâmico ou de um objeto com sua temperatura absoluta. Embora sejam frequentemente confundidos, temperatura e energia não são o mesmo conceito.

A temperatura é uma medida de energia, mas não a energia em si. Com a constante de Boltzmann, eles estão ligados entre si da seguinte maneira:

E_c = (3/2) k_B T

Esta equação é válida para uma molécula de gás monatômica ideal de massa m, Onde E_c é a sua energia cinética dada em Joules, k_B é a constante de Boltzmann e T é a temperatura absoluta em Kelvin.

Dessa forma, quando a temperatura aumenta, a energia cinética média por molécula de substância também aumenta, como é esperado. E o contrário acontece quando a temperatura diminui, podendo chegar ao ponto em que, se todo o movimento parar, atinge-se a menor temperatura possível ou zero absoluto.

Ao falar sobre a energia cinética média, é necessário lembrar que a energia cinética está associada ao movimento. E as partículas podem se mover de várias maneiras, como movimento, rotação ou vibração. É claro que nem todos o farão da mesma maneira e, como são incontáveis, a média é tomada para caracterizar o sistema.

Alguns estados de energia são mais prováveis ​​do que outros. Este conceito é de importância radical na termodinâmica. A energia considerada na equação anterior é a energia cinética translacional. A probabilidade de estados e sua relação com a constante de Boltzmann serão discutidas um pouco mais tarde.

Em 2018 o Kelvin foi redefinido e com ele a constante de Boltzmann, que no Sistema Internacional é de aproximadamente 1,380649 x 10^-23 J. K^-1. Muito mais precisão pode ser alcançada para a constante de Boltzmann, que foi determinada em vários laboratórios ao redor do mundo, por diferentes métodos.

História

A famosa constante deve seu nome ao físico Ludwig Boltzmann (1844–1906), nascido em Viena, que dedicou sua vida como cientista ao estudo do comportamento estatístico de sistemas com muitas partículas, do ponto de vista da mecânica newtoniana.

Embora hoje a existência do átomo seja universalmente aceita, no século 19 a crença sobre se o átomo realmente existia ou era um artifício com o qual muitos fenômenos físicos eram explicados estava em pleno debate.

Boltzmann foi um ferrenho defensor da existência do átomo e, em sua época, enfrentou duras críticas de muitos colegas a seu trabalho, que o consideravam conter paradoxos insolúveis.

Ele afirmou que fenômenos observáveis ​​em níveis macroscópicos poderiam ser explicados pelas propriedades estatísticas das partículas constituintes, como átomos e moléculas.

Talvez essas críticas se devam ao profundo episódio de depressão que o levou a se suicidar no início de setembro de 1906, quando ainda tinha muito que fazer, já que era considerado um dos grandes físicos teóricos de sua época e pouco restava por fazer. que outros cientistas contribuem para corroborar a veracidade de suas teorias.

Não muito depois de sua morte, novas descobertas sobre a natureza do átomo e suas partículas constituintes se somaram para provar que Boltzmann estava certo.

Constante de Boltzmann e obras de Planck

Agora, a constante de Boltzmann k_B foi introduzido como é conhecido hoje, algum tempo depois do trabalho do físico austríaco. Foi Max Planck, na sua lei da emissão do corpo negro, obra que apresentou em 1901, que na altura lhe atribuiu o valor de 1,34 x 10⁻²³ J / K.

Por volta de 1933, uma placa com a definição de entropia envolvendo a famosa constante foi adicionada à lápide de Boltzmann em Viena como uma homenagem póstuma: S = k_B log W, uma equação que será discutida mais tarde.

Hoje, a constante de Boltzmann é indispensável na aplicação das leis da termodinâmica, da mecânica estatística e da teoria da informação, campos dos quais este triste físico foi um dos pioneiros.

Valor e equações

Os gases podem ser descritos em termos macroscópicos e também em termos microscópicos. Para a primeira descrição existem conceitos como densidade, temperatura e pressão.

Porém, deve-se lembrar que um gás é composto de muitas partículas, que possuem tendência global para determinado comportamento. É essa tendência que é medida macroscopicamente. Uma maneira de determinar a constante de Boltzmann é graças à conhecida equação do gás ideal:

p.V = n. R. T

Aqui p é a pressão do gás, V é o seu volume, n é o número de moles presentes, R é a constante do gás e T é a temperatura. Em um mol de gás ideal, a seguinte relação entre o produto p.V, e a energia cinética translacional K todo o conjunto é:

p.V = (2/3). K

Portanto, a energia cinética é:

K = (3/2) n.R.T

Dividindo pelo número total de moléculas presentes, que será denominado N, obtém-se a energia cinética média de uma única partícula:

E_c = K / N

E_c= (3 / 2N) n.R.T

Em um mol está o número de partículas de Avogadro N_PARAe, portanto, o número total de partículas é N = nNA, restante:

E_c = (3 / 2nN_PARA) n.R.T

Precisamente o quociente R / N_PARA é a constante de Boltzmann, sendo assim mostrado que a energia cinética translacional média de uma partícula depende apenas da temperatura absoluta T e não de outras grandezas como pressão, volume ou mesmo o tipo de molécula:

E_c = (3/2) k_B. T

Constante de Boltzmann e entropia

Um gás tem uma determinada temperatura, mas essa temperatura pode corresponder a diferentes estados de energia interna. Como visualizar essa diferença?

Considere o lançamento simultâneo de 4 moedas e as maneiras pelas quais elas podem cair:

O conjunto de moedas pode assumir um total de 5 estados, que são considerados macroscópico, descrito na figura. Qual desses estados o leitor diria que é o mais provável?

A resposta deve ser o estado de 2 caras e 2 coroas, pois você tem um total de 6 possibilidades, das 16 ilustradas na figura. E 2⁴ = 16. Estes são equivalentes aos estados microscópico.

E se 20 moedas forem lançadas em vez de 4? Haveria um total de 2²⁰ possibilidades ou "estados microscópicos". É um número muito maior e mais difícil de manusear. Para facilitar o manuseio de grandes números, os logaritmos são muito apropriados.

Agora, o que parece claro é que o estado com maior desordem é o mais provável. Estados mais ordenados, como 4 cabeças ou 4 selos, são ligeiramente menos prováveis.

A entropia de um estado macroscópico S é definida como:

S = k_B ln w

Onde W é o número de possíveis estados microscópicos do sistema e k_B é a constante de Boltzmann. Como ln w é adimensional, a entropia tem as mesmas unidades que k_B: Joule / K.

Esta é a famosa equação da lápide de Boltzmann em Viena. Porém, mais do que entropia, o que importa é sua mudança:

ΔS = k_B ln w₂ - k_B ln w₁ = k_B ln (w₂/ W₁)

Como você calcula k_B?

O valor da constante de Boltzmann é obtido experimentalmente com extrema precisão com medições baseadas emtermometria acústica, que são realizadas utilizando a propriedade que estabelece a dependência da velocidade do som em um gás com sua temperatura.

Na verdade, a velocidade do som em um gás é dada por:

B_adiabático = γp

E ρ é a densidade do gás. Para a equação acima,p é a pressão do gás em questão e γ é o coeficiente adiabático, cujo valor para um determinado gás pode ser encontrado nas tabelas.

Os institutos de metrologia também estão experimentando outras formas de medir a constante, como o Johnson Noise Thermometry, que usa as flutuações térmicas que ocorrem aleatoriamente nos materiais, em particular nos condutores.

Exercícios resolvidos

-Exercício 1

Encontrar:

a) Energia cinética translacional média E_cque tem uma molécula de gás ideal a 25 ºC

b) Energia cinética translacional K das moléculas em 1 mol deste gás

c) A velocidade média de uma molécula de oxigênio a 25 ºC

Facto

m_oxigênio = 16 x 10 ^-3 kg / mol

Solução

para) E_c = (3/2) k T = 1,5 x 1,380649 x 10^-23J. K^-1 x 298 K = 6,2 x 10^-21 J

b) K = (3/2) n.R.T = 5 x 1 mol x 8,314 J / mol. K x 298 K = 3716 J

c) E_c = ½ mv²Levando em consideração que a molécula de oxigênio é diatômica e a massa molar deve ser multiplicada por 2, teremos:

Encontre a mudança na entropia quando 1 mol de gás ocupando um volume de 0,5 m³ se expande para ocupar 1 m³.

Solução

 ΔS = k_B ln (w₂/ W₁)

 W₂= 2^NW₁ (Havia 2⁴ estados microscópicos para o lançamento das 4 moedas, lembra?)

Onde N é o número de partículas presentes em 0,5 mol de gás 0,5 x N_PARA:

ΔS = k_B ln (2^N W₁/ W₁) = k_B em 2^N= k_B 0,5N_PARA ln 2 = 2,88 J / K

Referências

1. Atkins, P. 1999. Physical Chemistry. Edições Omega. 13-47.
2. Bauer, W. 2011. Physics for Engineering and Sciences. Volume 1. Mc Graw Hill. 664-672.
3. Giancoli, D. 2006. Física: Princípios com Aplicações. 6º .. Ed Prentice Hall. 443-444.
4. Sears, Zemansky. 2016. Física Universitária com Física Moderna. 14º. Ed. Volume 1. 647-673.
5. SIM Redefinição. Kelvin: Boltzmann Constant. Obtido em: nist.gov