Divisão sintética: método e exercícios resolvidos - Ciência - 2023

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o divisão sintética é uma maneira simples de dividir qualquer polinômio P (x) por um da forma d (x) = x - c. Por exemplo, o polinômio P (x) = (x⁵+ 3x⁴-7x³+ 2x²-8x + 1) pode ser representado como a multiplicação dos dois polinômios mais simples (x + 1) e (x⁴+ 2x³).

É uma ferramenta muito útil, pois, além de nos permitir dividir polinômios, também nos permite avaliar um polinômio P (x) em qualquer número c, que por sua vez nos informa precisamente se o referido número é um zero do polinômio ou não.

Graças ao algoritmo de divisão, sabemos que se tivermos dois polinômios P (x) Y d (x) não constantes, existem polinômios q (x) Y r (x) únicos, de forma que P (x) = q (x) d (x) + r (x), onde r (x) é zero ou menor que q (x). Esses polinômios são conhecidos como quociente e resto ou resto, respectivamente.

Nas ocasiões em que o polinômio d (x) é da forma x- c, a divisão sintética nos dá uma maneira resumida de descobrir quem são q (x) e r (x).

Método de divisão sintética

Seja P (x) = a_nxⁿ+ a_n-1x^n-1+… + A₁x + a₀ o polinômio que queremos dividir e d (x) = x-c o divisor. Para dividir pelo método de divisão sintética procedemos da seguinte forma:

1- Escrevemos os coeficientes de P (x) na primeira linha. Se qualquer potência de X não aparecer, colocamos zero como seu coeficiente.

2- Na segunda linha, à esquerda de um_n colocamos c, e desenhamos linhas de divisão como mostrado na figura a seguir:

3- Abaixamos o coeficiente líder para a terceira linha.

Nesta expressão b_n-1= a_n

4- Multiplicamos c pelo coeficiente líder b_n-1 e escrevemos o resultado na segunda linha, mas uma coluna à direita.

5- Adicionamos a coluna onde escrevemos o resultado anterior e colocamos o resultado abaixo dessa soma; ou seja, na mesma coluna, terceira linha.

Ao adicionar, temos como resultado_n-1+ c * b_n-1, que por conveniência chamaremos de b_n-2

6- Multiplicamos c pelo resultado anterior e escrevemos o resultado à sua direita na segunda linha.

7- Repetimos os passos 5 e 6 até atingirmos o coeficiente a₀.

8- Escrevemos a resposta; ou seja, o quociente e o resto. Como estamos dividindo um polinômio de grau n por um polinômio de grau 1, temos que o quociente seria de grau n-1.

Os coeficientes do polinômio quociente serão os números da terceira linha, exceto o último, que será o resto ou o resto da divisão.

Exercícios resolvidos

- Exemplo 1

Execute a seguinte divisão pelo método de divisão sintética:

(x⁵+ 3x⁴-7x³+ 2x²-8x + 1): (x + 1).

Solução

Primeiro escrevemos os coeficientes de dividendo da seguinte forma:

Em seguida, escrevemos c no lado esquerdo, na segunda linha, junto com as linhas divisórias. Neste exemplo, c = -1.

Reduzimos o coeficiente líder (neste caso b_n-1= 1) e nós o multiplicamos por -1:

Escrevemos seu resultado à direita na segunda linha, conforme mostrado abaixo:

Adicionamos os números na segunda coluna:

Multiplicamos 2 por -1 e escrevemos o resultado na terceira coluna, segunda linha:

Adicionamos na terceira coluna:

Procedemos da mesma forma até chegarmos à última coluna:

Assim, temos que o último número obtido é o resto da divisão, e os números restantes são os coeficientes do polinômio quociente. Isso é escrito da seguinte forma:

Se quisermos verificar se o resultado está correto, basta verificar se a seguinte equação é verdadeira:

P (x) = q (x) * d (x) + r (x)

Assim, podemos verificar se o resultado obtido está correto.

- Exemplo 2

Execute a seguinte divisão de polinômios pelo método de divisão sintética

(7x³-x + 2): (x + 2)

Solução

Neste caso, temos o termo x² ele não aparece, então escreveremos 0 como seu coeficiente. Assim, o polinômio seria 7x³+ 0x²-x + 2.

Escrevemos seus coeficientes em uma linha, isto é:

Escrevemos o valor de C = -2 no lado esquerdo da segunda linha e desenhamos as linhas de divisão.

Reduzimos o coeficiente líder b_n-1= 7 e multiplique por -2, escrevendo seu resultado na segunda linha à direita.

Adicionamos e procedemos conforme explicado anteriormente, até chegarmos ao último termo:

Neste caso, o resto é r (x) = - 52 e o quociente obtido é q (x) = 7x²-14x + 27.

- Exemplo 3

Outra maneira de usar a divisão sintética é a seguinte: suponha que temos um polinômio P (x) de grau n e queremos saber qual é o valor avaliando-o em x = c.

Pelo algoritmo de divisão, temos que escrever o polinômio P (x) da seguinte maneira:

Nesta expressão q (x) e r (x) são o quociente e o resto, respectivamente. Agora, se d (x) = x- c, ao avaliar em c no polinômio, obtemos o seguinte:

Por este motivo, só falta encontrar r (x), e podemos fazer isso graças à divisão sintética.

Por exemplo, temos o polinômio P (x) = x⁷-9x⁶+ 19x⁵+ 12x⁴-3x³+ 19x²-37x-37 e queremos saber qual é o seu valor ao avaliá-lo em x = 5. Para fazer isso, dividimos entre P (x) e d (x) = x -5 pelo método de divisão sintética:

Assim que as operações forem concluídas, sabemos que podemos escrever P (x) da seguinte maneira:

P (x) = (x⁶-4x⁵ –X⁴+ 7x³ + 32x² + 179x + 858) * (x-5) + 4253

Portanto, ao avaliá-lo, devemos:

P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (5-5) + 4253

P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (0) + 4253

P (5) = 0 + 4253 = 4253

Como podemos ver, é possível usar a divisão sintética para encontrar o valor de um polinômio avaliando-o em c em vez de simplesmente substituir c por x.

Se tentássemos avaliar P (5) da maneira tradicional, seríamos forçados a realizar alguns cálculos que muitas vezes se tornam tediosos.

- Exemplo 4

O algoritmo de divisão para polinômios também é válido para polinômios com coeficientes complexos e, como consequência, temos que o método de divisão sintética também funciona para tais polinômios. Veremos um exemplo abaixo.

Usaremos o método de divisão sintética para mostrar que z = 1+ 2i é um zero do polinômio P (x) = x³+ (1 + i) x² - (1 + 2i) x + (15 + 5i); ou seja, o restante da divisão P (x) por d (x) = x - z é igual a zero.

Procedemos como antes: na primeira linha escrevemos os coeficientes de P (x), depois na segunda escrevemos z e traçamos as linhas de divisão.

Fazemos a divisão como antes; isto é:

Podemos ver que o resto é zero; portanto, concluímos que, z = 1+ 2i é um zero de P (x).

Referências

Baldor Aurelio. Álgebra. Grupo Editorial Patria.
Demana, Waits, Foley & Kennedy. Pré-cálculo: gráfico, numérico, algébrico 7ª Ed. Pearson Education.
Flemming W & Varserg D. Álgebra e Trigonometria com Geometria Analítica. Prentice Hall
Michael Sullivan. Pré-cálculo 4ª Ed. Pearson Education.
Vermelho. Armando O. Álgebra 1 6ª Ed. O Ateneu.