Método de paralelogramo: exemplos, exercícios resolvidos - Ciência - 2023

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o método de paralelogramo é um método gráfico para adicionar dois vetores no plano. É freqüentemente usado para encontrar a resultante de duas forças aplicadas a um corpo ou de duas velocidades, como no caso de um nadador que pretende cruzar um rio perpendicularmente e é desviado pela corrente.

Para construir o paralelogramo, as origens dos vetores a serem adicionados, desenhados em escala, devem coincidir em um ponto.

Em seguida, linhas auxiliares são traçadas paralelas a cada vetor, chegando ao extremo do outro, conforme mostrado na figura acima.

A soma ou vetor resultante, também chamado de força resultante, é o vetor F_internet,que é obtido desenhando o vetor que vai da origem comum de F₁ Y F₂, até o ponto onde as linhas paralelas auxiliares se cruzam. No diagrama da figura, eles são representados por linhas pontilhadas.

O método recebe o nome da figura que é formada com os vetores adendos e as retas auxiliares, que é precisamente um paralelogramo. A diagonal principal do paralelogramo é o vetor de soma.

É muito importante notar que a ordem em que os vetores adendos são colocados não altera a soma em nada, já que esta operação entre os vetores é comutativa.

Exemplo do método do paralelogramo passo a passo

A imagem a seguir mostra os vetores v Y ou em unidades arbitrárias. Vetor v mede 3,61 unidades e forma um ângulo de 56,3º com a horizontal, enquanto ou mede 6,32 unidades e um ângulo de 18,4º em relação à referida linha de referência.

Vamos encontrar sua soma vetorial usando o método do paralelogramo.

Escolha uma escala apropriada, como a mostrada na figura a seguir, na qual o plano foi dividido por uma grade. A largura do quadrado representa uma (1) unidade.

Como os vetores não são alterados na translação, eles são posicionados de forma que suas origens coincidam com a origem do sistema de coordenadas (imagem à esquerda).

Agora vamos seguir estas etapas:

Plotar ao final do vetor v uma linha segmentada que é paralela ao vetor ou.
Repita o procedimento, mas desta vez com o final do vetor ou.
Desenhe a diagonal principal que se estende da origem comum até o ponto de intersecção das linhas segmentadas.

O resultado é visto na imagem certa, na qual o vetor resultante aparece R.

Se quisermos saber a magnitude de R, podemos medir seu comprimento e compará-lo com a escala que temos. E quanto ao seu sentido, o eixo horizontal ou o eixo vertical, por exemplo, podem ser usados como referências.

Ao usar o eixo horizontal ou eixo x, o ângulo que R forma com o referido eixo é medida com o transferidor e, desta forma, sabemos a direção de R.

Além disso, a magnitude e direção de R pode ser calculado usando os teoremas do cosseno e do seno, já que o paralelogramo formado pode ser dividido em dois triângulos congruentes, cujos lados são os módulos dos vetores ou, v Y R. Veja o Exemplo Trabalhado 1.

Caso especial: soma de vetores perpendiculares

Quando os vetores são perpendiculares entre si, a figura que se forma é um retângulo. O módulo do vetor resultante corresponde ao comprimento da diagonal, que pode ser facilmente calculado usando o teorema de Pitágoras.

Exercícios resolvidos

- Exercício 1

Nós temos o vetor v, que mede 3,61 unidades e forma um ângulo de 56,3º com a horizontal, e o vetor ou, cuja medida é de 6,32 unidades e forma um ângulo de 18,4º (figura 2). Determine o módulo do vetor resultante R = ou + v e a direção que o referido vetor forma com o eixo horizontal.

Solução

O método do paralelogramo é aplicado de acordo com as etapas descritas acima, para obtenção do vetor R. Como disse antes, se os vetores forem cuidadosamente desenhados seguindo a escala e usando a régua e o transferidor, a magnitude e a direção de R eles são medidos diretamente no desenho.

Eles também podem ser calculados diretamente, com a ajuda da trigonometria e das propriedades dos ângulos. Quando o triângulo formado não é um triângulo retângulo, como neste caso, o teorema do cosseno é aplicado para encontrar o lado que falta.

No triângulo à direita, os lados medem u, v e R. Para aplicar o teorema do cosseno, é necessário conhecer o ângulo entre v Y ou, que podemos encontrar com a ajuda da grade, posicionando adequadamente os ângulos fornecidos pelo enunciado.

Este ângulo é α e é composto por:

α = (90-56.3º) + 90º +18.4º = 142.1º

De acordo com o teorema do cosseno:

R² = v² + você²- 2u⋅v⋅cos α = 3,61²+ 6.32² - 2 × 3,61 × 6,32 × cos 142,1º = 88,98

R = 9,43 unidades.

Finalmente, o ângulo entre R e o eixo horizontal é θ = 18,4 º + γ. O ângulo γ pode ser encontrado usando o teorema do seno:

sin α / R = sin γ / u

Portanto:

sin γ = v (sin α / R) = 3,61 x (sin 142,1º / 9,43)

γ = 13.6º

θ = 18.4 º + 13.6 º = 32º

- Exercício 2

Um nadador está prestes a cruzar um rio, nadando perpendicularmente à corrente com uma velocidade constante de 2,0 m / s. O nadador parte de A, porém termina em B, ponto a jusante, devido à corrente que o desviou.

Se a velocidade da corrente é 0,8 m / se todas as velocidades são consideradas constantes, encontre a velocidade do nadador vista por um observador parado na costa.

Solução

Um observador parado na costa veria como o nadador é desviado de acordo com a velocidade resultante V_R. Para encontrar a resposta, precisamos adicionar vetorialmente a velocidade do nadador em relação à água e a velocidade da corrente, que chamamos V_Rio:

V_R= V_nadador+ V_Rio

Na figura, que não está em escala, os vetores foram somados para obter V_R_.Neste caso, o teorema de Pitágoras pode ser aplicado para obter sua magnitude:

V_R²= 2.0² + 0.8² = 4.64

V_R = 2,15 m / s

A direção na qual o nadador se desvia da direção perpendicular é facilmente calculada, observando que:

θ = arctg (2 / 0,8) = 68,2º

O nadador então desvia 90º - 68,2º = 27,2º de sua direção original.

Referências

Bauer, W. 2011. Physics for Engineering and Sciences. Volume 1. Mc Graw Hill.
Bedford, 2000. A. Engineering Mechanics: Statics. Addison Wesley.
Figueroa, D. (2005). Série: Física para Ciência e Engenharia. Volume 1. Cinemática. Editado por Douglas Figueroa (USB).
Giambattista, A. 2010. Física. 2ª Ed. McGraw Hill.
Sears, Zemansky. 2016. Física Universitária com Física Moderna. 14º. Ed. Volume 1.