Simetria axial: propriedades, exemplos e exercícios - Ciência - 2023

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o simetria axial Ocorre quando os pontos de uma figura coincidem com os pontos de outra figura por meio de uma bissetriz reta chamada eixo de simetria. Também é chamada de simetria radial, rotacional ou cilíndrica.

Geralmente é aplicado em figuras geométricas, mas é facilmente observável na natureza, visto que existem animais como borboletas, escorpiões, joaninhas ou humanos que apresentam simetria axial.

Como encontrar axial simétrico

Para encontrar o P 'simétrico axial de um ponto P em relação a uma linha (L), as seguintes operações geométricas são realizadas:

1.- A perpendicular à linha (L) que passa pelo ponto P.

2.- A interceptação das duas linhas determina um ponto O.

3.- Mede-se o comprimento do segmento PO, a seguir este comprimento é copiado na reta (PO) partindo de O na direção de P para O, determinando o ponto P '.

4.- O ponto P 'é o axial simétrico do ponto P em relação ao eixo (L), visto que a reta (L) é a mediatriz do segmento PP', onde O é o ponto médio desse segmento.

Propriedades da simetria axial

- A simetria axial é isométrica, ou seja, as distâncias de uma figura geométrica e sua correspondente simetria são preservadas.

- A medida de um ângulo e de sua simétrica são iguais.

- A simetria axial de um ponto no eixo de simetria é o próprio ponto.

- A linha simétrica de uma linha paralela ao eixo de simetria é também uma linha paralela ao referido eixo.

- Uma linha secante ao eixo de simetria tem como linha simétrica outra linha secante que, por sua vez, intercepta o eixo de simetria no mesmo ponto da linha original.

- A imagem simétrica de uma linha é outra linha que forma um ângulo com o eixo de simetria da mesma medida da linha original.

- A imagem simétrica de uma linha perpendicular ao eixo de simetria é outra linha que se sobrepõe à primeira.

- Uma linha e sua linha simétrica axial formam um ângulo cuja bissetriz é o eixo de simetria.

Exemplos de simetria axial

A natureza exibe exemplos abundantes de simetria axial. Por exemplo, você pode ver a simetria de rostos, insetos como borboletas, o reflexo em superfícies de águas calmas e espelhos ou folhas de plantas, entre muitos outros.

Exercícios de simetria axial

Exercício 1

Temos o triângulo de vértices A, B e C cujas coordenadas cartesianas são respectivamente A = (2, 5), B = (1, 1) e C = (3,3). Encontre as coordenadas cartesianas do triângulo simétrico em relação ao eixo Y (eixo das ordenadas).

Solução: Se um ponto P tem coordenadas (x, y), então sua simétrica em relação ao eixo das ordenadas (eixo Y) é P '= (- x, y). Em outras palavras, o valor de sua abscissa muda de sinal, enquanto o valor da ordenada permanece o mesmo.

Neste caso, o triângulo simétrico com vértices A ', B' e C 'terá coordenadas:

A '= (- 2, 5); B '= (- 1, 1) e C' = (- 3, 3), como pode ser visto na figura 6.

Exercício 2

Com referência ao triângulo ABC e seu A'B'C 'simétrico do exercício 1, verifique se os lados correspondentes do triângulo original e seu simétrico têm o mesmo comprimento.

Solução: Para encontrar a distância ou comprimento dos lados, usamos a fórmula da distância euclidiana:

d (A, B) = √ ((Bx - Ax) ^ 2 + (Por - Ay) ^ 2) = √ ((1-2) ^ 2 + (1-5) ^ 2) = √ ((- 1 ) ^ 2 + (-4) ^ 2) = √ (17) = 4,123

O comprimento do lado simétrico correspondente A'B 'é calculado abaixo:

d (A ', B') = √ ((Bx'-Ax ') ^ 2 + (Por'-Ay') ^ 2) = √ ((- 1 + 2) ^ 2 + (1-5) ^ 2 ) = √ ((1) ^ 2 + (-4) ^ 2) = √ (17) = 4,123

Desta forma, verifica-se que a simetria axial preserva a distância entre dois pontos. O procedimento pode ser repetido para os outros dois lados do triângulo e sua simetria para verificar a invariância no comprimento. Por exemplo | AC | = | A’C ’| = √5 = 2.236.

Exercício 3

Em relação ao triângulo ABC e seu A'B'C 'simétrico do exercício 1, verifique se os ângulos correspondentes do triângulo original e seu simétrico têm a mesma medida angular.

Solução: Para determinar as medidas dos ângulos BAC e B’A’C ’, o produto escalar dos vetores será calculado primeiro. AB com AC e então o produto escalar de A’B ’ com A’C ’.

Lembrando que:

A = (2, 5), B = (1, 1) e C = (3,3)

A '= (- 2, 5); B '= (- 1, 1) e C' = (- 3, 3).

Se tem:

AB = <1-2, 1-5> e AC = <3-2, 3-5>

similarmente

A’B ’ = <-1 + 2, 1-5> e AC = <-3+2, 3-5>

Em seguida, os seguintes produtos escalares são encontrados:

AB⋅AC = <-1, -4>⋅<1, -2> = -1⋅1 + (-4)⋅(-2) = -1 + 8 = 7

similarmente

A’B’⋅A’C ’ = <1, -4>⋅<-1, -2> = 1⋅(-1) + (-4)⋅(-2) = -1 + 8 = 7

A medida do ângulo BAC é:

∡BAC = ArcCos ( AB⋅AC / (|AB |⋅|AC |)) =

ArcCos (7 / (4.123⋅2.236)) = 40.6º

Da mesma forma, a medida do ângulo B’A’C ’é:

∡B’A’C ’= ArcCos ( A’B’⋅A’C ’ / (|A’B ’|⋅|A’C ’|)) =

ArcCos (7 / (4.123⋅2.236)) = 40.6º

Concluindo que a simetria axial preserva a medida dos ângulos.

Exercício 4

Seja um ponto P de coordenadas (a, b). Encontre as coordenadas de sua simetria axial P 'em relação à reta y = x.

Solução: Chamaremos (a ', b') as coordenadas do ponto simétrico P 'em relação à linha y = x. O ponto médio M do segmento PP 'tem coordenadas ((a + a') / 2, (b + b ') / 2) e também está na linha y = x, então a seguinte igualdade é verdadeira:

a + a ’= b + b’

Por outro lado, o segmento PP 'tem inclinação -1 porque é perpendicular à linha y = x da inclinação 1, então a seguinte igualdade se mantém:

b - b ’= a’ -a

Resolvendo para as duas igualdades anteriores a 'e b', conclui-se que:

a '= b e que b' = a.

Ou seja, dado um ponto P (a, b), sua simetria axial em relação à linha y = x é P ’(b, a).

Referências

Arce M., Blázquez S e outros. Transformações do plano. Recuperado de: educutmxli.files.wordpress.com
Cálculo cc. Simetria axial. Recuperado de: calculo.cc
Superprof. Simetria axial. Recuperado de: superprof.es
wikipedia. Simetria axial. Recuperado de: es.wikipedia.com
wikipedia. Simetria circular. Recuperado de: en.wikipedia.com