Princípio de Arquimedes: fórmula, prova, aplicações - Ciência - 2023

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o Princípio de Arquimedes diz que um corpo totalmente ou parcialmente submerso recebe uma força vertical para cima chamada empurrar, que é igual ao peso do volume de fluido deslocado pelo corpo.

Alguns objetos flutuam na água, outros afundam e alguns submergem parcialmente. Para afundar uma bola de praia é necessário fazer um esforço, pois imediatamente se percebe aquela força que tenta devolvê-la à superfície. Em vez disso, uma esfera de metal afunda rapidamente.

Por outro lado, objetos submersos parecem mais leves, pois há uma força exercida pelo fluido que se opõe ao peso. Mas nem sempre pode compensar totalmente a gravidade. E, embora seja mais evidente com a água, os gases também são capazes de produzir essa força em objetos imersos neles.

História

Arquimedes de Siracusa (287-212 aC) foi quem deve ter descoberto esse princípio, sendo um dos maiores cientistas da história. Diz-se que o rei Hieron II de Siracusa ordenou que um ourives fizesse uma nova coroa para ele, pela qual lhe deu uma certa quantidade de ouro.

Quando o rei recebeu a nova coroa, tinha o peso correto, mas ele suspeitou que o ourives o havia enganado ao adicionar prata em vez de ouro. Como ele poderia verificar sem destruir a coroa?

Hiero chamou Arquimedes, cuja fama de estudioso era bem conhecida, para ajudá-lo a resolver o problema. Diz a lenda que Arquimedes estava submerso na banheira quando encontrou a resposta e, tal era a sua emoção, que correu nu pelas ruas de Siracusa à procura do rei, gritando “eureka”, que significa “encontrei-o”.

O que Arquimedes encontrou? Pois bem, ao tomar banho, o nível da água na banheira subia quando ele entrava, o que significa que um corpo submerso desloca um determinado volume de líquido.

E se ele submergisse a coroa na água, isso também teria que deslocar um certo volume de água se a coroa fosse de ouro e outro diferente se fosse feita de liga de prata.

Fórmula do princípio de Arquimedes

A força de ascensão referida pelo princípio de Arquimedes é conhecida como empurrarhidrostático ou força de flutuabilidade e, como já dissemos, é igual ao peso do volume de fluido deslocado pelo corpo quando submerso.

O volume deslocado é igual ao volume do objeto que está submerso, total ou parcialmente. Já que o peso de qualquer coisa é mg, e a massa do fluido é densidade x volume, denotando a magnitude do impulso como B, matematicamente temos:

B = m_fluido x g = densidade do fluido x volume submerso x gravidade

B = ρ_fluido x V_submerso x g

Onde a letra grega ρ ("rho") denota densidade.

Peso aparente

O peso dos objetos é calculado usando a expressão bem conhecida mgNo entanto, as coisas parecem mais leves quando submersas na água.

o peso aparente de um objeto é aquele que ele possui quando está imerso em água ou outro líquido e sabendo disso, pode-se obter o volume de um objeto irregular como a coroa do Rei Hieron, como será visto a seguir.

Para fazer isso, ele é completamente submerso na água e preso a uma corda presa a um dinamômetro -um instrumento fornecido com uma mola usada para medir forças-. Quanto maior o peso do objeto, maior o alongamento da mola, que é medido em uma escala fornecida no aparelho.

Aplicando a segunda lei de Newton sabendo que o objeto está em repouso:

ΣF_Y = B + T - W = 0

O peso aparente W_para é igual à tensão na corda T:

T = W_para

W_para = mg - ρ_fluido . V. g

Se o volume submerso V for necessário, é resolvido como:

V = (W - W_para) / ρ_fluido . g

Demonstração

Quando um corpo está submerso, o impulso é a força resultante de todas as forças que são exercidas sobre o corpo por meio da pressão causada pelo fluido que o rodeia:

Pressão e profundidade

Como a pressão aumenta com a profundidade, a resultante dessas forças é sempre direcionada verticalmente para cima. Portanto, o princípio de Arquimedes é uma consequência do teorema fundamental da hidrostática, que relaciona a pressão P exercida por um fluido com a profundidade. z Como:

P = ρ.g.z

Forças em um fluido em equilíbrio estático

Para demonstrar o princípio de Arquimedes, pegue uma pequena porção cilíndrica do fluido em repouso para analisar as forças exercidas sobre ele, conforme mostrado na figura a seguir. As forças na superfície curva do cilindro se cancelam.

As magnitudes das forças verticais são F₁ = P₁.A e F₂ = P2.A, tem também o peso W. Como o fluido está em equilíbrio, a soma das forças deve se cancelar:

∑F_Y = P₂.A- P₁.A- W = 0

P₂.A- P₁.A = W

Uma vez que o empuxo compensa o peso, uma vez que a porção de fluido está em repouso, então:

B = P₂.A- P₁.A = W

Dessa expressão segue-se que o empuxo é devido à diferença de pressão entre a face superior do cilindro e a face inferior. Como W = mg = ρfluido. V. g, se tem que:

B = ρ_fluido. V_submerso. g

Que é precisamente a expressão para o impulso mencionado na seção anterior.

Aplicações do princípio de Arquimedes

O princípio de Arquimedes aparece em muitas aplicações práticas, entre as quais podemos citar:

- O balão aerostático. Que, devido a sua densidade média menor que a do ar circundante, flutua nele devido à força de empuxo.

- Os barcos. O casco dos navios é mais pesado que a água. Mas se for considerado todo o casco mais o ar de seu interior, a relação entre a massa total e o volume é menor que a da água e por isso os navios flutuam.

- Coletes salva-vidas. Sendo construídos de materiais leves e porosos, eles são capazes de flutuar porque a relação massa-volume é menor do que a da água.

- O flutuador para fechar a torneira de enchimento de um tanque de água. É uma esfera cheia de ar de grande volume que flutua na água, o que faz com que a força de empuxo - multiplicada pelo efeito de alavanca - feche a tampa da torneira de enchimento de uma caixa d'água quando esta atingir o nível total.

Exemplos

Exemplo 1

Diz a lenda que o rei Hieron deu ao ourives uma certa quantidade de ouro para fazer uma coroa, mas o monarca desconfiado pensou que o ourives pode ter trapaceado ao colocar um metal menos valioso que o ouro dentro da coroa. Mas como ele poderia saber sem destruir a coroa?

O rei confiou o problema a Arquimedes e este, buscando a solução, descobriu seu famoso princípio.

Suponha que a corona pese 2,10 kg-f no ar e 1,95 kg-f quando completamente submersa na água. Nesse caso, existe ou não engano?

O diagrama das forças é mostrado na figura anterior. Essas forças são: pesoP da coroa, o impulso E e a tensão T da corda pendurada na balança.

Sabe-se que P = 2,10 kg-f e T = 1,95 kg-f, a magnitude do empuxo ainda precisa ser determinada E:

T + E = P ⇒ E = P - T = (2,10 - 1,95) kg-f = 0,15 kg-f

Por outro lado, de acordo com o princípio de Arquimedes, o empuxo E é equivalente ao peso da água deslocada do espaço ocupado pela coroa, ou seja, a densidade da água vezes o volume da coroa devido à aceleração da gravidade:

E = ρ_Água⋅V⋅g = 1000 kg / m ^ 3 ⋅ V ⋅ 9,8m / s ^ 2 = 0,15 kg ⋅ 9,8 m / s ^ 2

De onde o volume da coroa pode ser calculado:

V = 0,15 kg / 1000 kg / m ^ 3 = 0,00015 m ^ 3

A densidade da coroa é o quociente entre a massa da coroa fora da água e seu volume:

Densidade da coroa = 2,10 kg / 0,00015 m ^ 3 = 14000 kg / m ^ 3

A densidade do ouro puro pode ser determinada por um procedimento semelhante e o resultado é 19300 kg / m ^ 3.

Comparando as duas densidades fica evidente que a coroa não é ouro puro!

Exemplo 2

Com base nos dados e no resultado do exemplo 1, é possível determinar quanto ouro foi roubado pelo ourives caso parte do ouro tenha sido substituído por prata, que possui densidade de 10.500 kg / m ^ 3.

Chamaremos a densidade da coroa de ρc, ρo a densidade do ouro e ρ_p para a densidade da prata.

A massa total da coroa é:

M = ρc⋅V = ρo⋅Vo + ρ_p⋅Vp

O volume total da coroa é o volume da prata mais o volume do ouro:

V = Vo + Vp ⇒ Vp = V - Vo

Substituir na equação pela massa é:

ρc⋅V = ρo⋅Vo + ρ_p⋅ (V - Vo) ⇒ (ρo - ρ_p) Vo = (ρc - ρ_p) V

Isso quer dizer que o volume de ouro Vo que contém a coroa do volume total V é:

Vo = V⋅ (ρc - ρ_p) / (ρo - ρ_p) = …

… = 0,00015 m ^ 3 (14000 - 10500) / (19300 - 10500) = 0,00005966 m ^ 3

Para encontrar o peso em ouro que a coroa contém, multiplicamos Vo pela densidade do ouro:

Mo = 19300 * 0,00005966 = 1,1514 kg

Como a massa da coroa é de 2,10 kg, sabemos que 0,94858 kg de ouro foi roubado pelo ourives e substituído por prata.

Exercícios resolvidos

Exercício 1

Um enorme balão de hélio é capaz de manter uma pessoa em equilíbrio (sem subir ou descer).

Suponha que o peso da pessoa, mais a cesta, as cordas e o balão sejam 70 kg. Qual é o volume de hélio necessário para que isso ocorra? Qual deve ser o tamanho do balão?

Solução

Vamos supor que o empuxo é produzido principalmente pelo volume do hélio e que o empuxo do restante dos componentes é muito pequeno se comparado ao do hélio, que ocupa muito mais volume.

Nesse caso, será necessário um volume de hélio capaz de fornecer um empuxo de 70 kg + o peso do hélio.

O empuxo é o produto do volume de hélio vezes a densidade do hélio e a aceleração da gravidade. Esse impulso deve compensar o peso do hélio mais o peso de todo o resto.

Da⋅V⋅g = Da⋅V⋅g + M⋅g

de onde se conclui que V = M / (Da - Dh)

V = 70 kg / (1,25 - 0,18) kg / m ^ 3 = 65,4 m ^ 3

Ou seja, 65,4 m ^ 3 de hélio são necessários à pressão atmosférica para que haja elevação.

Se assumirmos um globo esférico, podemos encontrar seu raio a partir da relação entre o volume e o raio de uma esfera:

V = (4/3) ⋅π⋅R ^ 3

De onde R = 2,49 m. Em outras palavras, será necessário um balão de 5 m de diâmetro cheio de hélio.

Exercício 2

Materiais com densidade inferior à da água flutuam nela. Suponha que você tenha poliestireno (cortiça branca), madeira e cubos de gelo. Suas densidades em kg por metro cúbico são respectivamente: 20, 450 e 915.

Descubra qual fração do volume total está fora da água e qual a altura dela acima da superfície da água, tomando 1000 quilogramas por metro cúbico como a densidade deste último.

Solução

A flutuabilidade ocorre quando o peso do corpo é igual ao impulso devido à água:

E = M⋅g

Peso é a densidade corporal Dc multiplicada por seu volume V e pela aceleração da gravidade g.

O empuxo é o peso do fluido deslocado de acordo com o princípio de Arquimedes e é calculado multiplicando a densidade D da água pelo volume submerso V 'e pela aceleração da gravidade.

Quer dizer que:

D⋅V’⋅g = Dc⋅V⋅g

Isso significa que a fração de volume submerso é igual ao quociente entre a densidade do corpo e a densidade da água.

(V '/ V) = (Dc / D)

Ou seja, a fração de volume pendente (V ’’ / V) é

(V ’’ / V) = 1 - (Dc / D)

sim h é a altura excelente e eu do lado do cubo, a fração de volume pode ser escrita como

(h⋅L ^ 2) / (L ^ 3) = h / L, ou seja, a fração de altura pendente também é

(h / L) = 1 - (Dc / D)

Portanto, os resultados para os materiais solicitados são:

Poliestireno (cortiça branca):

(h / L) = (V ’’ / V) = 1 - (Dc / D) = 1- (20/1000) = 98% fora da água

Madeira:

(h / L) = (V ’’ / V) = 1 - (Dc / D) = 1- (450/1000) = 55% fora da água

Gelo:

(h / L) = (V ’’ / V) = 1 - (Dc / D) = 1- (915/1000) = 8,5% fora da água

Referências

Bauer, W. 2011. Physics for Engineering and Sciences. Volume 1. Mc Graw Hill. 417-455.
Cengel Y, Cimbala J. 2011. Fluid Mechanics. Fundamentos e aplicações. Primeira edição. McGraw Hill.
Figueroa, D. (2005). Série: Física para Ciência e Engenharia. Volume 4. Fluidos e termodinâmica. Editado por Douglas Figueroa (USB). 1 - 42.
Giles, R. 2010. Fluid Mechanics and Hydraulics. McGraw Hill.
Rex, A. 2011. Fundamentals of Physics. Pearson. 239-263.
Tippens, P. 2011. Physics: Concepts and Applications. 7ª Edição. McGraw Hill.