Processo politrópico: características, aplicações e exemplos - Ciência - 2023

Contente

• Características dos processos politrópicos
• Formulários
• Trabalhe em processos politrópicos para diferentes valores de n
• Para n ≠ 1
• Para n → ∞
• Para n = 1
• Exemplos de processos politrópicos
• - Exemplo 1
• Solução
• - Exemplo 2
• Solução
• Referências

UMA processo politrópico é um processo termodinâmico que ocorre quando a relação entre a pressão P e o volume V dado porP.Vⁿ ele permanece constante. O expoente n é um número real, geralmente entre zero e infinito, mas em alguns casos pode ser negativo.

O valor de n recebe o nome de índice de politropia e é importante notar que durante um processo termodinâmico politrópico, o referido índice deve manter um valor fixo, caso contrário o processo não será considerado politrópico.

Características dos processos politrópicos

Alguns casos característicos de processos politrópicos são:

- O processo isotérmico (a temperatura constante T), em que o expoente é n = 1.

- Um processo isobárico (a pressão P constante), neste caso n = 0.

- O processo isocórico (em volume constante V), para o qual n = + ∞.

- Processos adiabáticos (em entropia S constante), em que o expoente é n = γ, onde γ é a constante adiabática. Esta constante é o quociente entre a capacidade de calor em pressão constante Cp dividido pela capacidade de calor em volume constante Cv:

γ = Cp / Cv

- Qualquer outro processo termodinâmico que não seja um dos casos anteriores. mas isso cumpre P.Vⁿ = ctte com índice politrópico real e constante n também será um processo politrópico.

Formulários

Uma das principais aplicações da equação politrópica é o cálculo do trabalho realizado por um sistema termodinâmico fechado, quando este passa do estado inicial ao final de forma quase estática, ou seja, seguindo uma sucessão de estados de equilíbrio.

Trabalhe em processos politrópicos para diferentes valores de n

Para n ≠ 1

O trabalho mecânico W realizado por um sistema termodinâmico fechado é calculado pela expressão:

W = ∫P.dV

Onde P é a pressão e V é o volume.

Como no caso de um processo politrópico, a relação entre pressão e volume é:

P.Vⁿ = constante = C

Resolvendo para P da expressão anterior para substituí-lo na expressão de trabalho:

P = C /Vⁿ

Temos o trabalho mecânico realizado durante um processo politrópico, que começa no estado inicial 1 e termina no estado final 2. Tudo isso aparece na seguinte expressão:

C = P₁ V₁ⁿ = P₂ V₂ⁿ

Ao substituir o valor da constante na expressão de trabalho, obtemos:

W = (P₂ V₂ - P₁ V₁) / (1-n)

No caso em que a substância de trabalho pode ser modelada como um gás ideal, temos a seguinte equação de estado:

P.V = m.R.T

Onde m é o número de moles do gás ideal e R é a constante universal do gás.

Para um gás ideal que segue um processo politrópico com um índice de politropia diferente da unidade e que passa de um estado com temperatura inicial T₁ para outro estado com temperatura T₂ temos que o trabalho realizado é dado pela seguinte fórmula:

W = m R (T₂ - T₁) / (1-n)

Para n → ∞

De acordo com a fórmula para o trabalho obtida na seção anterior, temos que o trabalho de um processo politrópico com n = ∞ é nulo, pois a expressão do trabalho é dividida por infinito e portanto o resultado tende a zero .

Outra forma de chegar a este resultado é a partir da relação P₁ V₁ⁿ = P₂ V₂ⁿ, que pode ser reescrito da seguinte forma:

(P₁/ P₂) = (V₂/ V1)ⁿ

Tomando a enésima raiz em cada membro, obtemos:

(V₂/ V1) = (P₁/ P₂)^{(1 / n)}

No caso em que n → ∞, temos (V₂/ V1) = 1, o que significa que:

V₂ = V₁

Ou seja, o volume não muda em um processo politrópico com n → ∞. Portanto, o diferencial de volume dV na integral do trabalho mecânico é 0. Esses tipos de processos politrópicos também são conhecidos como processos isocórico, ou processos de volume constante.

Para n = 1

Novamente temos a expressão a expressão para trabalho:

W = ∫P dV

No caso de um processo politrópico com n = 1, a relação entre pressão e volume é:

P V = constante = C

Resolvendo P da expressão anterior e substituindo, temos o trabalho feito para ir do estado inicial 1 para o estado final 2:

Quer dizer:

W = C ln (V₂/ V₁).

Como os estados inicial e final são bem determinados, o ctte também o será. Quer dizer:

C = P₁ V₁ = P₂ V₂

Finalmente, temos as seguintes expressões úteis para encontrar o trabalho mecânico de um sistema politrópico fechado em que n = 1.

W = P₁ V₁ ln (V₂/ V₁) = P₂ V₂ ln (V₂/ V₁)

Se a substância de trabalho consiste em m moles de gás ideal, então a equação de estado do gás ideal pode ser aplicada: P V = m.R.T.

Neste caso, como P.V₁ = ctte, temos que um processo politrópico com n = 1 é um processo a temperatura constante T (isotérmico), de forma que as seguintes expressões para o trabalho podem ser obtidas:

W = m R T₁ ln (V₂/ V₁) = m R T₂ ln (V₂/ V₁)

Exemplos de processos politrópicos

- Exemplo 1

Suponha um cilindro com um pistão móvel preenchido com um quilograma de ar. Inicialmente o ar ocupa um volume V₁= 0,2 m³ na pressão P₁= 400 kPa. Um processo politrópico é seguido com n = γ = 1,4, cujo estado final tem pressão P₂ = 100 kPa. Determine o trabalho realizado pelo ar no pistão.

Solução

Quando o índice de politropia é igual à constante adiabática, ocorre um processo no qual a substância de trabalho (ar) não troca calor com o meio ambiente e, portanto, a entropia não muda.

Para o ar, um gás ideal diatômico, temos:

γ = Cp / Cv, com Cp = (7/2) R e Cv = (5/2) R

Então:

γ = 7/5 = 1,4

Usando a expressão do processo politrópico, o volume final do ar pode ser determinado:

V₂ = [(P₂ V₁^1,4) / P₂]^(1/1,4) = 0,54 m³.

Agora temos as condições de aplicar a fórmula para o trabalho realizado em um processo politrópico para n ≠ 1 obtido acima:

W = (P₂ V₂ - P1 V1) / (1-n)

Substituindo os valores apropriados, temos:

W = (100 kPa 0,54 m³ - 400 kPa 0,2 m³) / (1 - 1,4) = 65,4 kJ

- Exemplo 2

Suponha o mesmo cilindro do Exemplo 1, com um pistão móvel preenchido com um quilograma de ar. Inicialmente o ar ocupa um volume V1 = 0,2 m³ a uma pressão P1 = 400 kPa. Mas, ao contrário do caso anterior, o ar se expande isotermicamente para atingir uma pressão final P2 = 100 kPa. Determine o trabalho realizado pelo ar no pistão.

Solução

Como visto acima, os processos isotérmicos são processos politrópicos com índice n = 1, então é verdade que:

P1 V1 = P2 V2

Desta forma, o volume final pode ser facilmente retirado para obter:

V2 = 0,8 m³

Então, usando a expressão de trabalho obtida anteriormente para o caso n = 1, temos que o trabalho feito pelo ar no pistão neste processo é:

W = P1 V1 ln (V2 / V1) = 400000 Pa × 0,2 m³ ln (0,8 / 0,2) = 110,9 kJ.

Referências

1. Bauer, W. 2011. Physics for Engineering and Sciences. Volume 1. Mc Graw Hill.
2. Cengel, Y. 2012. Thermodynamics. 7ª Edição. McGraw Hill.
3. Figueroa, D. (2005). Série: Física para Ciência e Engenharia. Volume 4. Fluidos e termodinâmica. Editado por Douglas Figueroa (USB).
4. López, C. A Primeira Lei da Termodinâmica. Recuperado de: culturacientifica.com.
5. Knight, R. 2017. Physics for Scientists and Engineering: a Strategy Approach. Pearson.
6. Serway, R., Vulle, C. 2011. Fundamentals of Physics. 9th Ed. Cengage Learning.
7. Sevilla University. Máquinas Térmicas. Recuperado de: laplace.us.es.
8. Wikiwand. Processo politrópico. Recuperado de: wikiwand.com.