Conjunto finito: propriedades, exemplos, exercícios resolvidos - Ciência - 2023

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É compreendido por conjunto finito qualquer conjunto com um número limitado ou contável de elementos. Exemplos de conjuntos finitos são as bolas de gude que estão contidas em uma bolsa, o conjunto de casas em um bairro ou o conjunto P formado pelos primeiros vinte (20) números naturais:

P = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20} 

O conjunto de estrelas no universo é certamente imenso, mas não se sabe ao certo se é finito ou infinito. No entanto, o conjunto de planetas do sistema solar é finito.

O número de elementos de um conjunto finito é chamado de cardinalidade e para o conjunto P é denotado assim: Cartão (P) ou #P. O conjunto vazio tem cardinalidade zero e é considerado um conjunto finito.


Propriedades

Entre as propriedades dos conjuntos finitos estão as seguintes:

1- A união de conjuntos finitos dá origem a um novo conjunto finito.

2- Se dois conjuntos finitos se cruzam, um novo conjunto finito resulta.

3- Um subconjunto de um conjunto finito é finito e sua cardinalidade é menor ou igual à do conjunto original.

4- O conjunto vazio é um conjunto finito.

Exemplos

Existem muitos exemplos de conjuntos finitos. Alguns exemplos incluem o seguinte:

O conjunto M dos meses do ano, que de forma ampliada pode ser escrita assim:

M = {Janeiro, fevereiro, março, abril, maio, junho, julho, agosto, setembro, outubro, novembro, dezembro}, a cardinalidade de M é 12.

O conjunto S dos dias da semana: S = {Segunda, terça, quarta, quinta, sexta, sábado, domingo}. A cardinalidade de S é 7.


O conjunto Ñ das letras do alfabeto espanhol é um conjunto finito, este conjunto por extensão é escrito assim:

Ñ = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, ñ, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z} e sua cardinalidade é 27.

O conjunto V das vogais em espanhol é um subconjunto do conjunto Ñ:

V ⊂ Ñ portanto, é um conjunto finito.

O conjunto finito V em forma extensa, é escrito assim: V = {a, e, i, o, u} e sua cardinalidade é 5.

Os conjuntos podem ser expressos por compreensão. O conjunto F composto pelas letras da palavra "finito" é um exemplo:

F = {x / x é uma letra da palavra "finito"}

O referido conjunto expresso de forma extensiva será:

F = {f, i, n, t, o} cuja cardinalidade é 5 e, portanto, é um conjunto finito.

Mais exemplos

As cores do arco-íris são outro exemplo de um conjunto finito, o conjunto C dessas cores é:


C = {vermelho, laranja, amarelo, verde, ciano, azul, violeta} e sua cardinalidade é 7.

O conjunto de fases F de la Luna é outro exemplo de um conjunto finito:

F = {Lua nova, primeiro quarto, lua cheia, quarto minguante} este conjunto tem cardinalidade 4.

Outro conjunto finito é aquele formado pelos planetas do sistema solar:

P = {Mercúrio, Vênus, Terra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano, Netuno, Plutão} de cardinalidade 9.

Exercícios resolvidos

Exercício 1

O seguinte conjunto A = {x∊ R / x ^ 3 = 27} é dado. Expresse-o em palavras e escreva-o por extensão, indique sua cardinalidade e diga se é finito ou não.

Solução:O conjunto A é o conjunto de números reais x tais que x ao cubo como 27.

A equação x ^ 3 = 27 tem três soluções: são x1 = 3, x2 = (-3/2 + 3√3 / 2 i) e x3 = (-3/2 - 3√3 / 2 i). Das três soluções, apenas x1 é real, enquanto as outras duas são números complexos.

Uma vez que a definição do conjunto A diz que x pertence aos números reais, então as soluções nos números complexos não fazem parte do conjunto A.

O conjunto A expresso extensivamente é:

A = {3}, que é um conjunto finito de cardinalidade 1.

Exercício 2

Escreva de forma simbólica (por compreensão) e de forma extensiva o conjunto B de números reais maiores que 0 (zero) e menores ou iguais a 0 (zero). Indique sua cardinalidade e se é finito ou não.

Solução:B = {x∊ R / 0 <x <= 0}

O conjunto B está vazio porque um número real x não pode ser simultaneamente maior e menor que zero, assim como não pode ser 0 e também menor que 0.

B = {} e sua cardinalidade é 0. O conjunto vazio é um conjunto finito.

Exercício 3

O conjunto S das soluções de uma certa equação é dado. O conjunto S por compreensão é escrito assim:

S = {x∊ R / (x-3) (x ^ 2 - 9x + 20) = 0}

Escreva o referido conjunto de forma extensa, indique sua cardinalidade e indique se é ou não um conjunto finito.

Solução: Primeiramente, ao analisar a expressão que descreve o conjunto S, obtém-se que se trata de um conjunto de valores reais x que são soluções da equação:

(x-3) (x ^ 2 - 9x + 20) = 0 ( *)

Uma solução dessa equação é x = 3, que é um número real e, portanto, pertence a S. Mas há mais soluções que podem ser obtidas procurando as soluções da equação quadrática:

(x ^ 2 - 9x + 20) = 0

A expressão acima pode ser fatorada da seguinte maneira:

(x - 4) (x - 5) = 0

O que nos leva a mais duas soluções da equação original ( *) que são x = 4 ex = 5. Em suma, a equação ( *) tem como soluções 3, 4 e 5.

O conjunto S expresso de forma extensa tem a seguinte aparência:

S = {3, 4, 5}, que tem cardinalidade 3 e é, portanto, um conjunto finito.

Exercício 4

Existem dois conjuntos A = {1, 5, 7, 9, 11} e B = {x ∊ N / x é mesmo ^ x <10}.

Escreva o conjunto B explicitamente e encontre a união com o conjunto A. Encontre também a interceptação desses dois conjuntos e conclua.

Solução: o conjunto B é formado pelos números naturais tais que são pares e também são menores que o valor 10, portanto, no conjunto B em forma extensa está escrito da seguinte forma:

B = {2, 4, 6, 8}

A união do conjunto A com o conjunto B é:

A U B = {1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11}

e a interceptação do conjunto A com o conjunto B é escrita assim:

A ⋂ B = {} = Ø é o conjunto vazio.

Deve-se notar que a união e a interceptação desses dois conjuntos finitos levam a novos conjuntos, que por sua vez também são finitos.

Referências

  1. Fuentes, A. (2016). MATEMÁTICA BÁSICA. Uma introdução ao cálculo. Lulu.com.
  2. Garo, M. (2014). Matemática: equações quadráticas: Como resolver uma equação quadrática. Marilù Garo.
  3. Haeussler, E. F., & Paul, R. S. (2003). Matemática para gestão e economia. Pearson Education.
  4. Jiménez, J., Rodríguez, M., Estrada, R. (2005). Matemática 1 SEP. Limite.
  5. Preciado, C. T. (2005). Curso de Matemática 3º. Editorial Progreso.
  6. Matemática 10 (2018). "Exemplos de conjuntos finitos". Recuperado de: matematicas10.net
  7. Rock, N. M. (2006). Álgebra I é fácil! Tão fácil. Equipe Rock Press.
  8. Sullivan, J. (2006). Álgebra e trigonometria. Pearson Education.
  9. Wikipedia. Conjunto finito. Recuperado de: es.wikipedia.com