Variável contínua: características, exemplos e exercícios - Ciência - 2023

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Variável contínua: características, exemplos e exercícios - Ciência
Variável contínua: características, exemplos e exercícios - Ciência

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o Variável contínua É aquele que pode assumir um número infinito de valores numéricos entre dois valores dados, mesmo se esses dois valores forem arbitrariamente próximos. Eles são usados ​​para descrever atributos mensuráveis; por exemplo, altura e peso. Os valores que uma variável contínua assume podem ser números racionais, números reais ou números complexos, embora o último caso seja menos frequente em estatísticas.

A principal característica das variáveis ​​contínuas é que entre dois valores racionais ou reais outro pode sempre ser encontrado, e entre esse outro e o primeiro outro valor pode ser encontrado, e assim por diante indefinidamente.

Por exemplo, suponha o peso variável em um grupo onde o mais pesado pesa 95 kg e o mais baixo 48 kg; esse seria o intervalo da variável e o número de valores possíveis é infinito.


Por exemplo, entre 50,00 kg e 50,10 kg pode ser 50,01. Mas entre 50,00 e 50,01 pode ser a medida 50,005. Essa é uma variável contínua. Por outro lado, se nas medidas possíveis de peso se estabelecesse a precisão de uma única casa decimal, a variável utilizada seria discreta.

As variáveis ​​contínuas pertencem à categoria das variáveis ​​quantitativas, pois possuem um valor numérico associado a elas. Com este valor numérico é possível realizar operações matemáticas que variam de métodos aritméticos a cálculos infinitesimais.

Exemplos

A maioria das variáveis ​​em física são variáveis ​​contínuas, entre elas podemos citar: comprimento, tempo, velocidade, aceleração, energia, temperatura e outras.

Variáveis ​​contínuas e variáveis ​​discretas

Em estatística, vários tipos de variáveis ​​podem ser definidos, tanto qualitativos quanto quantitativos. As variáveis ​​contínuas pertencem à última categoria. Com eles é possível realizar operações aritméticas e de cálculo.


Por exemplo, a variável h, correspondendo a pessoas com altura entre 1,50 me 1,95 m, é uma variável contínua.

Vamos comparar esta variável com esta outra: o número de vezes que uma moeda sai cara, que chamaremos n.

A variável n pode assumir valores entre 0 e infinito, no entanto n Não é uma variável contínua, pois não pode assumir o valor 1,3 ou 1,5, pois entre os valores 1 e 2 não há outro. Este é um exemplo de Variável discreta.

Exercício de variáveis ​​contínuas

Considere o seguinte exemplo: uma máquina produz palitos de fósforo e os embala em sua caixa. Duas variáveis ​​estatísticas são definidas:

Variável 1: L = Duração da partida.

Variável 2: N = Número de correspondências por caixa.

O comprimento nominal do fósforo é 5,0 cm com uma tolerância de 0,1 cm. O número de correspondências por caixa é 50, com tolerância de 3.

a) Indique a faixa de valores que pode assumir eu Y N.


b) Quantos valores podem ser necessários eu?

c) Quantos valores podem ser necessários n?

Indique em cada caso se é uma variável discreta ou contínua.

Solução

Os valores de eu estão no intervalo [5,0-0,1; 5,0 + 0,1]; quer dizer que o valor de eu está na faixa [4,9 cm; 5,1 cm] e a variável eu pode assumir valores infinitos entre essas duas medidas. É então uma variável contínua.

O valor da variável n está no intervalo [47; 53]. A variável n Só pode levar 6 valores possíveis no intervalo de tolerância, então é uma variável discreta.

Exercício de distribuição de probabilidade

Se, além de contínuos, os valores tomados pela variável tiverem certa probabilidade de ocorrência associada a eles, então é um variável aleatória contínua. É muito importante distinguir se a variável é discreta ou contínua, pois os modelos probabilísticos aplicáveis ​​a uma e a outra são diferentes.

Uma variável aleatória contínua é completamente definida quando os valores que pode assumir, e a probabilidade que cada um deles tem de acontecer, são conhecidos.

-Exercício 1 de probabilidades

O match maker os fabrica de forma que o comprimento dos palitos fique sempre entre os valores 4,9 cm e 5,1 cm, sendo zero fora desses valores. Existe a probabilidade de se obter um bastão que mede entre 5,00 e 5,05 cm, embora também pudéssemos extrair um de 5.0003 cm. Esses valores são igualmente prováveis?

Solução

Suponha que a densidade de probabilidade seja uniforme. As probabilidades de encontrar uma correspondência com um determinado comprimento estão listadas abaixo:

-Que uma correspondência está no intervalo [4,9; 5.1] tem probabilidade = 1 (ou 100%), uma vez que a máquina não desenha correspondências fora desses valores.

-Encontrar uma correspondência entre 4,9 e 5,0 tem probabilidade = ½ = 0,5 (50%), pois é a metade do intervalo de comprimentos.

- E a probabilidade de que a correspondência tenha comprimento entre 5,0 e 5,1 também é 0,5 (50%)

- Sabe-se que não existem palitos de fósforo com comprimento entre 5,0 e 5,2. Probabilidade: zero (0%).

Probabilidade de encontrar um palito em um determinado intervalo

Agora vamos observar as seguintes probabilidades P de obtenção de varetas cujo comprimento está entre l1 e eu2:

P = (l2 -eu1) / (EUmax - EUmin)

-P de uma correspondência com um comprimento entre 5,00 e 5,05 é denotado como P ([5,00, 5,05]):

P ([5,00; 5,05]) = (5,05 - 5,00) / (5,1 - 4,9) = 0,05 / 0,2 = ¼ = 0,25 (25%)

-P que o morro tem comprimento entre 5,00 e 5,01 é:

P ([5,00, 5,01]) = (5,00 - 5,01) / (5,1 - 4,9) = 0,01 / 0,2 = 1/20 = 0,05 (5 %)

-P que o morro tem um comprimento entre 5.000 e 5.001 é ainda menor:

P (5.000; 5,001) = 0,001 / 0,2 = 1/200 = 0,005 (0,5%)

Se continuarmos diminuindo o intervalo para nos aproximar cada vez mais de 5,00, a probabilidade de um palito ter exatamente 5,00 cm é zero (0%). O que temos é a probabilidade de encontrar uma correspondência dentro de um determinado intervalo.

Probabilidade de encontrar vários palitos de dente em um determinado intervalo

Se os eventos forem independentes, a probabilidade de que dois palitos de dente estejam em um determinado intervalo é o produto de suas probabilidades.

- A probabilidade de que dois pauzinhos estejam entre 5,0 e 5,1 é 0,5 * 0,5 = 0,25 (0,25%)

-A probabilidade de que 50 palitos estejam entre 5,0 e 5,1 é (0,5) ^ 50 = 9 × 10 ^ -16, ou seja, quase zero.

- A probabilidade de que 50 palitos estejam entre 4,9 e 5,1 é (1) ^ 50 = 1 (100%)

-Exercício 2 de probabilidades

No exemplo anterior, assumiu-se que a probabilidade é uniforme no intervalo dado, mas nem sempre é esse o caso.

No caso da máquina real que produz os palitos, a chance de o palito estar no valor central é maior do que em um dos valores extremos. Do ponto de vista matemático, isso é modelado com uma função f (x) conhecida como densidade de probabilidade.

A probabilidade de que a medida L esteja entre a e b é calculada usando a integral definida da função f (x) entre a e b.

Como exemplo, suponha que desejamos encontrar a função f (x), que representa uma distribuição uniforme entre os valores 4.9 e 5.1 do exercício 1.

Se a distribuição de probabilidade for uniforme, então f (x) é igual à constante c, que é determinada tomando a integral entre 4,9 e 5,1 de c. Como essa integral é a probabilidade, o resultado deve ser 1.

O que significa que c vale 1 / 0,2 = 5. Ou seja, a função de densidade de probabilidade uniforme é f (x) = {5 se 4,9≤x≤5,1 e 0 fora desse intervalo. Uma função de densidade de probabilidade uniforme é mostrada na Figura 2.

Observe como em intervalos de mesma largura (por exemplo 0,02) a probabilidade é a mesma no centro que no final do intervalo da variável contínua eu (comprimento do palito).

Um modelo mais realista seria uma função de densidade de probabilidade como a seguinte:

-f (x) = - 750 ((x-5,0) ^ 2-0,01) se 4,9≤x≤5,1

-0 fora deste intervalo

Na figura 3 pode-se observar como a probabilidade de encontrar palitos entre 4,99 e 5,01 (largura 0,02) é maior do que encontrar palitos entre 4,90 e 4,92 (largura 0,02)

Referências

  1. Dinov, Ivo. Variáveis ​​aleatórias discretas e distribuições de probabilidade. Obtido em: stat.ucla.edu
  2. Variáveis ​​aleatórias discretas e contínuas. Obtido em: ocw.mit.edu
  3. Variáveis ​​aleatórias discretas e distribuições de probabilidade. Recuperado de: homepage.divms.uiowa.edu
  4. H. Pishro. Introdução à probabilidade. Recuperado de: probabilidade course.com
  5. Mendenhall, W. 1978. Statistics for Management and Economics. Grupo Editorial Iberoamericana. 103-106.
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  7. Wikipedia. Variável contínua. Recuperado de wikipedia.com
  8. Wikipedia. Variável estatística. Recuperado de wikipedia.com.