Vetores no espaço: como representar graficamente, aplicações, exercícios - Ciência - 2023

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UMA vetor no espaço é todo mundo representado por um sistema de coordenadas dado por x, Y Y z. Quase sempre o avião xy é o plano da superfície horizontal e o eixo z representa a altura (ou profundidade).

Os eixos das coordenadas cartesianas mostrados na figura 1 dividem o espaço em 8 regiões chamadas octantes, análogo a como os eixos x – Y divida o plano em 4 quadrantes. Teremos então 1º octante, 2º octante e assim por diante.

A Figura 1 contém uma representação de um vetor v No espaço. Alguma perspectiva é necessária para criar a ilusão de três dimensões no plano da tela, o que é obtido desenhando uma vista oblíqua.

Para representar graficamente um vetor 3D, deve-se usar as linhas pontilhadas que determinam as coordenadas da projeção ou "sombra" na grade. v Sobre a superfície x-y. Esta projeção começa em O e termina no ponto verde.

Uma vez lá, você deve seguir a vertical até a altura (ou profundidade) necessária de acordo com o valor de z, até chegar a P. O vetor é desenhado partindo de O e terminando em P, que no exemplo está no 1º octante.

Formulários

Os vetores no espaço são amplamente utilizados na mecânica e em outros ramos da física e da engenharia, uma vez que as estruturas que nos cercam exigem geometria em três dimensões.

Vetores de posição no espaço são usados para posicionar objetos em relação a um ponto de referência chamado origem O. Portanto, também são ferramentas necessárias na navegação, mas não é tudo.

As forças que atuam em estruturas como parafusos, suportes, cabos, escoras e muito mais são vetoriais por natureza e orientadas no espaço. Para saber seu efeito, é necessário saber seu endereço (e também seu ponto de aplicação).

E freqüentemente a direção de uma força é conhecida pelo conhecimento de dois pontos no espaço que pertencem à sua linha de ação. Desta forma, a força é:

F = F ou

Onde F é a magnitude ou módulo da força e ou é o vetor unitário (de módulo 1) dirigido ao longo da linha de ação de F.

Notação e representações vetoriais 3D

Antes de prosseguirmos na solução de alguns exemplos, faremos uma breve revisão da notação vetorial 3D.

No exemplo da Figura 1, o vetor v, cujo ponto de origem coincide com a origem O e cujo final é o ponto P, possui coordenadas x Y z positivo, enquanto a coordenada Y é negativo. Essas coordenadas são: x₁, Y₁, z₁, que são precisamente as coordenadas de P.

Portanto, se temos um vetor ligado à origem, ou seja, cujo ponto de partida coincide com O, é muito fácil indicar suas coordenadas, que serão as do ponto extremo ou P. Para distinguir entre um ponto e um vetor, usaremos as últimas letras em negrito e colchetes, como este:

v = <x₁, Y₁, z₁ >

Enquanto o ponto P é denotado entre parênteses:

P = (x₁, Y₁, z₁)

Outra representação faz uso de vetores unitários Eu, j Y k que definem as três direções do espaço nos eixos x, Y Y z respectivamente.

Esses vetores são perpendiculares entre si e formam um base ortonormal (veja a figura 2). Isso significa que um vetor 3D pode ser escrito em termos deles como:

v = v_xEu + v_Yj + v_z k

Ângulos e cossenos diretores de um vetor

A Figura 2 também mostra os ângulos do diretor γ₁, γ₂e γ₃ do que vetor v faz respectivamente com os eixos x, Y Y z. Conhecendo esses ângulos e a magnitude do vetor, está completamente determinado. Além disso, os cossenos dos ângulos do diretor atendem à seguinte relação:

(cos γ₁)²+ (cos γ₂)² + (cos γ₃)² = 1

Exercícios resolvidos

-Exercício 1

Na figura 2, os ângulos γ₁, γ₂e γ₃ do que vetor v da forma do módulo 50 com os eixos de coordenadas são respectivamente: 75,0º, 60,0º e 34,3º. Encontre os componentes cartesianos deste vetor e represente-os em termos dos vetores unitários Eu, j Y k.

Solução

Projeção vetorial v no eixo x é v_x = 50. cos 75º = 12.941. Da mesma forma, a projeção de v no eixo Y é v_Y = 50 cos 60 º = 25 e finalmente no eixo z é v_z = 50. cos 34,3º = 41,3. Agora v pode ser expresso como:

v = 12.9 Eu + 25.0 j + 41.3 k

-Exercício 2

Encontre as tensões em cada um dos cabos que seguram o balde na figura que está em equilíbrio, se seu peso for 30 N.

Solução

No balde, o diagrama de corpo livre indica que T_D (verde) compensa o peso W (amarelo), portanto, T_D = W = 30 N.

No nó, o vetor T_D é direcionado verticalmente para baixo, então:

T_D = 30 (-k) N.

Para estabelecer as tensões restantes, siga estas etapas:

Etapa 1: Encontre as Coordenadas de Todos os Pontos

A = (4,5, 0, 3) (A está no plano da parede x-z)

B = (1,5,0,0) (B está no eixo x)

C = (0, 2,5, 3) (C está no plano da parede e Z)

D = (1,5, 1,5, 0) (D está no plano horizontal x-y)

Etapa 2: Encontre os vetores em cada direção subtraindo as coordenadas do final e do início

DÁ = <3; -1.5; 3>

DC = <-1.5; 1; 3>

DB = <0; -1.5 ; 0>

Etapa 3: Calcular módulos e vetores unitários

Um vetor unitário é obtido pela expressão: ou = r / r, com r (em negrito) sendo o vetor er (não em negrito) sendo o módulo do referido vetor.

DA = (3² + (-1.5)² + 3²)^½= 4,5; DC = ((-1,5)² + 1² + 3²)^½= 3.5

ou_DÁ = <3; -1.5; 3>4.5 = <0.67 ; -0.33 ; 0.67>

ou_DC = <-1.5; 1; 3>3.5 = <-0.43; 0.29; 0.86>

ou_DB= <0; -1; 0>

ou_D= <0; 0; -1>

Etapa 4: Expressar todas as tensões como vetores

T_DÁ = T_DÁ ou_DÁ= T_DÁ<0.67 ; -0.33 ; 0.67>

T_DC= T_DC ou_{DC =}T_DC<-0.43; 0.29; 0.86>

T_DB = T_DB ou_DB= T_DB<0; -1; 0>

T_D= 30 <0; 0; -1>

Etapa 5: Aplicar a condição de equilíbrio estático e resolver o sistema de equações

Finalmente, a condição de equilíbrio estático é aplicada ao balde, de modo que a soma vetorial de todas as forças no nó seja zero:

T_DÁ + T_DC + T_DB+ T_D = 0

Uma vez que as tensões estão no espaço, isso resultará em um sistema de três equações para cada componente (x, e e z) de tensões.

0,67 T_DÁ -0,43 T_DC+ 0 T_DB = 0

-0,33 T_DÁ+ 0,29 T_DC - T_DB = 0

0,67 T_DÁ+ 0,86 T_DC+0 T_DB – 30 = 0

A solução é: T_DÁ= 14,9 N; T_DÁ = 23,3 N; T_DB= 1,82 N

Referências

Bedford, 2000. A. Engineering Mechanics: Statics. Addison Wesley. 38-52.
Figueroa, D. Série: Física para Ciências e Engenharia. Volume 1. Cinemática. 31-68.
Fisica. Módulo 8: Vetores. Recuperado de: frtl.utn.edu.ar
Hibbeler, R. 2006. Mechanics for Engineers. Estático. 6ª Edição. Editora Continental. 15-53.
Calculadora de adição de vetor. Recuperado de: 1728.org