Exercícios de factoring resolvidos - Ciência - 2023

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o factoring é o procedimento algébrico pelo qual uma expressão algébrica é convertida em produtos de termos mais simples. Desta forma, muitos cálculos são simplificados.

Os exercícios de factoring ajudam você a entender essa técnica, que é amplamente usada na matemática e envolve o processo de escrever uma soma como um produto de certos termos.

Para fatorar corretamente, você deve começar verificando se há letras e números em comum para cada termo. Por exemplo, a expressão 5x⁴ -10x³ + 25x², que contém três termos, pode ser fatorado observando que o "x" se repete em cada um, embora com uma potência diferente. Quanto aos coeficientes numéricos, são todos múltiplos de 5.

Portanto, o fator comum consiste em:

-O produto entre o maior divisor comum dos coeficientes e

-A menor potência da letra ou letras que aparecem.

No exemplo, o fator comum é:

5x²

E a expressão fica assim:

5x⁴ - 10x³ + 25x² = 5x² ⋅ (x² - 2x + 5)

O leitor pode verificar, aplicando a propriedade distributiva, que ambas as expressões são equivalentes.

Métodos de fatoração: diferença de quadrados

Nem todas as expressões algébricas são fatoradas como acabamos de fazer, então aqui vamos mostrar como usar vários métodos com exercícios resolvidos passo a passo.

Assim, com um pouco de prática, o leitor aprende a aplicar o método mais conveniente em casos como:

-Fatoração de binômios e trinômios.

-Fatoração de polinômios.

-Cálculo de raízes de polinômios.

A tabela na Figura 1 é muito útil quando surge a pergunta: Que tipo de fatoração usar para um exercício?

Começaremos com uma diferença de quadrados, aos quais se aplica a fórmula 1 da tabela.

- Exercício resolvido 1

Fatore o binômio 16x² – 49

Solução

Neste exemplo, a potência não se repete e os coeficientes numéricos não são primos entre si, como no exemplo inicial. No entanto, se a expressão fornecida for verificada como um Diferença de quadrados, a fórmula 1 pode ser aplicada.

Tudo o que é necessário é identificar os termos para Y b:

para² = 16x² → a = √ (16x²) = 4x
b² = 49 → b = 49 = 7

Uma vez identificados, eles são substituídos seguindo a fórmula:

16x² - 49 = (4x + 7) (4x - 7)

E a expressão permanece como produto de dois fatores.

Neste e em todos os casos que se seguem, o leitor pode confirmar que se você desenvolver o resultado com a propriedade distributiva, a expressão algébrica original será retornada.

Fatoração de trinômios quadrados perfeitos

Esses casos correspondem às fórmulas 2 e 3 da figura 1. Porém, antes de aplicá-la, deve-se verificar se a expressão comporta que:

- Dois termos são os quadrados perfeitos de para Y b.

-O termo restante é o duplo produto de aeb, ou seja: 2ab.

Se o acima for verdadeiro, é um trinômio quadrado perfeito e as fórmulas são aplicadas diretamente.

- Exercício resolvido 2

Fatore o trinômio: x² + 12x + 36

Solução

Esta expressão parece apropriada para aplicar a fórmula 2 na caixa, mas primeiro você deve verificar se é um trinômio quadrado perfeito. Primeiro, observa-se que tanto o primeiro quanto o terceiro termos são quadrados perfeitos:

x²é o quadrado perfeito de x, uma vez que (x)² = x²
36 é o quadrado perfeito de 6, já que 6² = 36

Então:

a = x
b = 6

E, finalmente, você deve verificar se o termo restante é 2ab e está em vigor:

12x = 2⋅x⋅6

Resta apenas fatorar de acordo com a fórmula:

x² + 12x + 36 = (x + 6)²

- Exercício resolvido 3

Escreva a expressão 4x² –20x + 25 na forma fatorada.

Solução

Como existe um termo com sinal negativo, pode-se usar a fórmula 3 do quadro, porém, primeiro deve-se verificar que se trata de um trinômio quadrado perfeito:

4x² é o quadrado de 2x, pois (2x)² = 4x², portanto a = 2x
25 é igual a 5², então b = 5
O termo 20x é igual a 2⋅2x⋅5 = 20x

A fatoração se parece com isto:

4x² -20x + 25 = (2x - 5)²

Soma e diferença de cubos

Quando houver somas ou diferenças de cubos, as fórmulas 4 ou 5 são aplicadas dependendo do caso.

- Exercício resolvido 4

Fator 8x³ – 27

Solução

Temos aqui uma diferença de cubos, extraindo assim a raiz cúbica de cada termo:

Portanto, a = 2x e b = 3.

A Fórmula 4 é seguida, que é apropriada para a diferença de cubos:

8x³ - 27 = (2x - 3) ⋅ [(2x)²+ 2x⋅3 + 3²] = (2x - 3) ⋅ (4x² + 6x + 9)

Fatoração por agrupamento de termos

Na imagem a seguir, há um polinômio com quatro termos que devem ser fatorados. Os primeiros três termos têm "x" em comum, mas o último não. Nem podemos dizer que os coeficientes numéricos são múltiplos do mesmo fator.

Porém, tentaremos agrupar os termos em duas partes com parênteses, indicados com a seta amarela: os dois primeiros termos têm o “x” em comum, enquanto os dois últimos têm em comum que os coeficientes são múltiplos de 5.

Nós fatoramos esses dois grupos (seta azul). Agora o leitor deve notar que ao fatorar, um novo fator comum surge: os parênteses (3x + 2).

Fator de toque uma segunda vez (seta rosa), uma vez que (3x + 2) é um fator comum de xe 5.

As raízes de um polinômio

Eles são os valores da variável que cancelam o polinômio. Se for um polinômio cuja variável é “x”, como vimos, pois se trata de encontrar os valores de x tais que, na hora da substituição, o valor numérico obtido seja 0.

A fatoração é um método de encontrar os zeros em alguns polinômios. Vamos ver um exemplo:

- Exercício resolvido 5

Encontre os zeros do trinômio x² –2x - 3

Solução

Fatoramos o trinômio, mas este não é um trinômio quadrado perfeito. No entanto, podemos realizar um procedimento de tentativa e erro. Escrevemos o trinômio como o produto de dois fatores, como este:

x² –2x - 3 = (x). (x)

O primeiro sinal do trinômio é colocado nos primeiros parênteses, visto da esquerda para a direita. Este é um sinal (-). No segundo parênteses, o produto dos dois sinais que aparecem após o termo com x é colocado²:

(-) x (-) = +

Desta forma, a fatoração ficará assim:

x² –2x - 3 = (x -). (x +)

Agora temos que encontrar por tentativa e erro dois números aeb que serão colocados nos espaços em branco. Quando multiplicado, deve ser 3:

a x b = 3

E eles também devem cumprir isso quando subtraído O resultado é 2, pois os sinais entre parênteses são diferentes.

(Se eles fossem sinais de igual, dois números aeb tiveram que ser encontrados que ao ser adicionado dê o coeficiente do termo com "x"). Então:

a - b = 2

Os números que atendem às duas condições, por tentativa e erro, são 3 e 1, pois:

3 x 1 = 3

3 – 1 = 2

O maior número é colocado entre parênteses à esquerda e a fatoração fica assim:

x² - 2x - 3 = (x - 3). (x + 1)

Os zeros do polinômio são os valores de x que cancelam cada fator:

x - 3 = 0 ⇒ x = 3
x + 1 = 0 ⇒ x = -1

O leitor pode verificar que a substituição desses valores no trinômio original é cancelada.

Outros exercícios

- Exercício resolvido 6

Fatore o seguinte polinômio: P (x) = x²-1.

Solução

Nem sempre é necessário usar o resolvente. Neste exemplo, você pode usar um produto notável.

Reescrevendo o polinômio da seguinte maneira, podemos ver qual produto notável usar: P (x) = x² - 1².

Usando o notável produto 1, diferença de quadrados, temos que o polinômio P (x) pode ser fatorado da seguinte maneira: P (x) = (x + 1) (x-1).

Isso indica ainda que as raízes de P (x) são x1 = -1 e x2 = 1.

- Exercício resolvido 7

Fatore o seguinte polinômio: Q (x) = x³ - 8.

Solução

Existe um produto notável que diz o seguinte: a³-b³ = (a-b) (a² + ab + b²).

Sabendo disso, o polinômio Q (x) pode ser reescrito da seguinte maneira: Q (x) = x³-8 = x³ - 2³.

Agora, usando o notável produto descrito, temos que a fatoração do polinômio Q (x) é Q (x) = x³-2³ = (x-2) (x² + 2x + 2²) = (x-2) (x² + 2x + 4).

O polinômio quadrático que surgiu na etapa anterior ainda precisa ser fatorado. Mas se você olhar para ele, o produto notável 2 pode ajudar; portanto, a fatoração final de Q (x) é dada por Q (x) = (x-2) (x + 2) ².

Isso diz que uma raiz de Q (x) é x1 = 2 e que x2 = x3 = 2 é a outra raiz de Q (x), que é repetida.

- Exercício resolvido 8

Fator R (x) = x² - x - 6.

Solução

Quando você não consegue detectar um produto notável, ou você não tem a experiência necessária para manipular a expressão, você prossegue com o uso do resolvente. Os valores são os seguintes a = 1, b = -1 e c = -6.

Substituí-los na fórmula resulta em x = (-1 ± √ ((- 1) ² - 4 * 1 * (- 6))) / 2 * 1 = (-1 ± √25) / 2 = (- 1 ± 5) / 2.

A partir daqui, existem duas soluções que são as seguintes:

x1 = (-1 + 5) / 2 = 2

x2 = (-1-5) / 2 = -3.

Portanto, o polinômio R (x) pode ser fatorado como R (x) = (x-2) (x - (- 3)) = (x-2) (x + 3).

- Exercício resolvido 9

Fator H (x) = x³ - x² - 2x.

Solução

Neste exercício, podemos começar tomando o fator comum x e obtermos que H (x) = x (x²-x-2).

Portanto, resta apenas fatorar o polinômio quadrático. Usando o resolvente novamente, temos que as raízes são:

x = (-1 ± √ ((-1) ²-4 * 1 * (- 2))) / 2 * 1 = (-1 ± √9) / 2 = (-1 ± 3) / 2 .

Portanto, as raízes do polinômio quadrático são x1 = 1 e x2 = -2.

Em conclusão, a fatoração do polinômio H (x) é dada por H (x) = x (x-1) (x + 2).

Referências

Baldor. 1977. Elementary Algebra. Edições culturais venezuelanas.
Raízes de um polinômio. O que são e como são calculados passo a passo. Recuperado de: ekuatio.com.
Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
Stewart, J. 2006. Precalculus: Mathematics for Calculus. 5 ª. Edição. Cengage Learning.
Zill, D. 1984. Algebra and Trigonometry. McGraw Hill.